Листок 36. Последний

Finita la comedia.

8 класс. 1 семестр.

Множества.

Равные. Подмножества и включение. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность.

Логические операции

"и", "или", "не", следствие, эквивалентность, матрицы истиности, сведение друг к другу. Закон доказательства от противного.

Связь законов логики и теории множеств.

Законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, двойного отрицания, заключения, введения, удаления, применение их к решению задач.

Кванторы. Обратная и противоложная теоремы в кванторах. Определение ограниченных и неограниченных множеств.

Индукция.

Две формы полной математической индукции. Задачи на индукцию. Формула Бернули.

Целые числа

Делимость.

Общий делитель, НОД и НОК (их связь), взаимно простые, простые и составные числа - определения и простейшие свойства. Понятие линейной комбинации. Алгоритм Евклида. КРАЗ - определение, существование и единственность. Теоремы о простых числах, о сравнениях. Задачи на целые, простые числа, на сравнения, уравнения в целых числах.

Классы вычетов.

Разбиение множества на классы эквивалентности. Классы вычетов по модулю как пример коммутативного кольца с единицей. Полные системы вычетов: определение и свойства. Существование и единственность НОД класса вычетов. Приведенная система вычетов. Теорема Эйлера. Решение целочисленных степенных уравнений в сравнениях. Китайская теорема об остатках.

Системы счисления.

Римская и прочие, n-ричная. Двоичная, восьмиричная, шестнадцатиричная, двоично-десятичная. Запись в дополнительном коде.

Признаки делимости в десятичной системе на 2,5,10,3,9,11; в сторичной на 4,25,101; в тысячеричной на 8,125,7,11,13,27,37.

Функции целая часть, дробная часть, знак.

Геометрические перемещение

Паралельный перенос, симметрия относительно прямой, поворот, скользящая симметрия. Групповые свойства перемещений. Теорема Шаля, ее значение.

8 класс. 2 семестр. Теория групп.

Отображения:

в, на, наложение, вложение, взаимооднозначное.

Подстановки.

Определение, композиция, расширение, групповые свойства подстановок. Представление подстановок в виде произведения независимых циклов. Четность и нечетность числа транспозиций в разложении цикла.

Полугруппы.

Декартово произведение, бинарная операцния. Ассоциативность. Полугруппы.

Группа.

Единичный элемент, обратный элемент. Определение и примеры групп. Абелевы группы. Свойства обратный и единичный элементов, операции возведения в целую степень. Связь групп диэдра с группой подстановок.

Циклическая группа.

Порядок группы, порядок элемента, циклические группы и ее образующие. Группы простого порядка. Системы образующих, в частности порождение группы подстановок элементарными транспозициями; в группе диэдра и пифагоровых многограников.

Подгруппа.

Определение, свойства, примеры. Левые и правые смежные классы. Теорема Лагранжа и индекс подгруппы. Примеры смежных классов.

Перестановки и сортировки. Ключи. Сортировка. Устойчивость. Инверсии, таблица инверсий. Мультимножество, его перестановки. Соединенное произведение. Отрезки. Инволяции и табло Янга.

Изоморфизм групп.

Примеры, общие свойства. Теорема Кэли. Автоморфизмы и изоморфизмы группы в себя.

Факторгруппа.

Сопряженные элементы, св-во отношения эквивалентности для них. Классы сопряженный элементов, примеры. Нормальные подгруппы. Признаки нормальности подгрупп. Факторгруппа как множество смежный классов по нормальной подгруппе.

Гомоморфизм.

Гомоморфизм, гомоморфизм "на", эндоморфизм, ядро гоморфизма, естественный гомоморфизм. Другое определение факторгруппы. Примеры фактор-групп. Основная теорема о гомоморфизме, примеры на нее.

Дополнительные разделы теории групп.

Центр и централизатор, коммутант и коммутатор, разрешимые группы. Теорема: группа порядка р*р, где р - простое - абелева. Сложные задачи на теории групп.

9 класс. 3 семестр.

Матрицы.

Преобразование плоскости, формулы преобразований. Линейные преобразования. Вектор. Матрица. Матрицы перемещений и преобразований подобия плоскости, их определители. Композиция перемещений.

Матрицы как кольцо.

Матрицы n-гo порядка. Вырожденные матрицы и их геометрическая интерпритация.

Определители.

Определитель n-гo порядка, его св-ва. Его определение через сумму всевозможный перестановок. Четность и нечетность перестановок. Миноры и алгебраические дополнения. Использование ик для вычисления определителей и обратных матриц. Определитель Ван-дер-Морда. Правило Крамера.

Специальная теория относительности.

Постоянство скорости света, изотропия времени и пространства. Инвариант. Преобразование Галилея. Преобразование Лоренца - поворот в плоскости x,it. Преобразование длин, времени, скорости при переходе к другой системе координат.

Мощность множеств.

Счетность.

Равномощность. Конечные, бесконечные, счетные, несчетные, не более чем счетные. Доказательства равномощности различных множеств. Теорема Кантора-Бернштейна. Построение отображения счетного числа счетных множеств в счетное множеств.

Континуум.

Несчетность множества бесконечных последовательностей 0 и 1. Теорема Кантора. Примеры континуальных множеств. Примеры гиперконтинуальных множеств.

Натуральные числа N.

Аксиомы Пеано. Сложение, умножение, отношения порядка. Существование min элемента в любом подмножестве N.

Целыые числа Z.

Определение как классов эквивалентности N⊗N. Z - абелеева группа по сложению. Умножение. Отношение порядка. Изоморфизм положительных целых и натуральных чисел.

Рациональные числа Q.

Определение как классов эквивалентности Z⊗N. Сокращение дробей. Q - поле. Отношение порядка. Изоморфизм рациональных чисел со знаменателем 1 целым.

Сечение Дедекинда.

Определение сечения. Рациональные сечения. Множество сечений R - упорядоченное поле. Плотность рациональными чисел. Полнота вещественных чисел. Иррациональные числа. Существование и единственность арифметического корня на примере квадратного корня из 2.

Грани.

Верхняя и нижняя грани (sup и inf). Существование sup и inf у непустого множества вещественных чисел.

Последовательности.

Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков. Последовательности: конечные, бесконечные, станционарные.

Позиционая запись.

Цифры. Изоморфизм натуральных чисел множеству конечных последовательностей цифр. Рациональное число как тройка целой непериодической части, периода, и десятичной степени. Период 9. Десятичная запись действительного числа как бесконечной последовательности цифр.

Расширенная система вещественных чисел.

Комплексные числа C.

Комплексные числа как декартово произведение R⊗R Комплексные числа как неупорядоченное поле. Модуль комплексного числа. i. Алгебраическая форма комплексного числа. Функции взятия действительной и мнимой части, комплексно-сопряженного, их св-ва. Геометрическая форма. Неравенство треугольника. Матричная форма. Группа кватернионов.

Полярные координаты.

Формулы перехода от полярных координат к декартовым и обратно. Функция взятия аргумента и ее главное значение. Тригонометрическая форма компексного числа. Сложение и умножение чисел. Формула Муавра. Применение геометрической прогресии для суммирования тригонометрических рядов.

Циклическая группа корней п степени из комплексного числа.

Многочлены.

Многочлен как конечная последовательность коэффицентов. Кольцо многочленов. Деление с остатком. Целостность. Многочлен от нескольких переменных.

Многочлен как функция. Корень многочлена. Теорема Везу. Интерполяция по Лагранжу, по Ньютону. Рациональные корни многочлена с целыми коэффицентами. НОД и НОК. Взаимопростые многочлены. Представление отношения многочленов в виде многочлена и простых дробей. Однозначность разложения многочлена на неприводимые. Многочлен n степени имеет не более n корней. Основная теорема алгебры (без док-ва).

Формальная производная многочлена. Формула Тейлора для многочленов. Разложение вещественного многочлена в произведение линейных и квадратичных множителей.

Симметрические многочлены. Теорема Виета. Элементарные симметрические функции. Основная теорема о симметрических многочленах.

9 класс. 4 семестр.

Топология.

Метрические пространства. Примеры метрик.

Определение топологии. Св-ва замкнутых множеств. Окрестность точки, точки прикосновения: замыкание, внутренность и граница. Топологии, порожденные метрическими пространствами. Хаусдорфовость. Критерий открытости и замкнутости в порожденной топологии. Предельные точки и принцип Больцанно - Вейрштрасса.

Определение предела последовательности,

его единственность. Лемма о непрерывности расстояния. Эквивалентные метрики. Предельные точки и подпоследовательности.

Вычисление пределов.

Леммы о мажорировании, сумме, разности, произведении и частном пределов последователеностей. Принцип двух милиционеров и теорема Веейрштасса. Предел произведения ограниченной и сходящейся к нулю последовательности. Мажорирование суммой геометрической прогрессии. Суммы рядов. Пределы рекурентно заданых последовательностей. Теоремы о рекурентно заданных последовательностях.

Предел.функции.

Предел по Коши, по Гейне, их эквивалентность. Свойства, следующие из св-в пределов последовательности. Правые, левые пределы, классификация точек разрыва.

Непрерывность функции.

Непрерывность по Коши, по Гейне, по книге Рудина; их эквивалентность. Непрерывность на множестве; суммы и разности, произведения и частного; композиции функций и обратной. Функции Дирихле и Римана.

Определение компактности. Ограниченность и замкнутость компакта. Компактность отрезка.

Непрерывные функции в R.

Связность, всюду плотность множеств. Теорема Больцано-Коши. Отображения компакта. Теоремы Вейерштрасса. Функции, непрерывные на всюду плотном подмножестве.

Равномерная непрерывность

Определение. Теорема Кантора о непрерывности на компакте.

Дифференцирование.

Определение производной. Производная суммы, произведения, частного функций. Производная степенной функции, его совпадение с формальной производной многочленов. Производная сложной функции. Теоремы Рояля и Лагранжа. Пример всюду непрерывной и всюду недифференцируемои функции.

Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора для функций.

Комбинаторика

Треугольник Паскаля, его свойства. Бином Ньютона. Число сочетаний. Применение комбинаторики к решению школьный задач

Геометрические числа, числа Фибоначи, статистическая физика, триномиальные и полиноиинальные коэффиценты, треугольник г Лейбница, теория игр.

Приближенные вычисления.

С помощью бинома Ньютона, в тон числе и вещественной степени. Понятие о определении элементарным функций. Решение уравнений методом деления пополам, методом корд, методом касательным по Ньютону.

10 класс. 5 семестр. Факультативные курсы

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Число e

Определение числа e как предела последовательности (1+1/n)ⁿ, доказательство существования и единственности. Определение e как суммы ряда, доказательство эквивалентности определений. Числовая оценка для e. Пределы с е.

Возведение в степень.

Существование, единственность арифметического корня. Возведение чисел в любую рациональную степень, свойства операции возведения в степень. Возведение действительного числа в действительную степень, определенное как соответствующее как соответсвующее сечение, его свойства.

Показательная функция.

Свойство функции "число e в степени x"

Признак Даламбера сходимости рядов. Показательная функция как ряд, доказательство его сходимости. Тождественность двух определений показательной функции.

Иррациональность e.

Формула Стирлинга.

Тригонометрические функции.

Определение комплексных рядов их сходимости. Признак Даламбера сходимости комплексных рядов. Экспонента от комплексного числа ее свойства. Косинус и синус как действительные и мнимые части экспоненты чисто мнимого аргумента. Дифференцирование экспоненты, синуса и косинуса. Теорема о существовании числа π, в котором exp(2*π*k*i)=1.

Тригонометрические функции комплексного аргумента.

Гиперболические функции.

Определение, свойства, аналогичные тригонометрическим функциям. Обратные гиперболические функции.

Логарифм

Логарифм положительного числа. Логарифм по действительному основанию. Свойство вещественной функции логарифма. Логарифмирование комплексный чисел. Главное значение логарифма. Возведение комплексного числа в комплексную степень. Обратные тригонометрические функции.

Комфорные отображения комплексной плоскости.

Перенос, поворот, растяжение. Любая линейная функция осуществляет преобразование подобия комплексной плоскости на себя

ИНВЕРСИЯ. Определение симметрии относительно окружности. Дробно-линейная функция; ее однозначность и круговое свойство. Примеры комфорных отображений плоскости.

Интеграл Римаиа.

Введение: недостатки школьного определения интеграла. Разбиение. Верхняя и нижняя суммы Дарбу, верхний и нижний интеграл. Функция по определению интегрируема, если совпадают верхний и нижний интегралы. Интеграл существует ⇔ верхняя и нижняя суммы Дарбу отличаются на бесконечно малую величину. Интегрируемость непрерывной функции. Интегрируемость монотонной функции. Свойства интеграла: интеграл от суммы функций, вынесение константы, неравенства, мажорирование интеграллов.

Интеграл как предел интегральных сумм.

Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница.

Понятие об интеграле Римана-Стильерса, его связь с интегралом Римана. Понятие об интеграле векторной функции.

Интегрирование по частям.

Теоремы о среднем значении интегралов, о замене переменный.

Ряды (продолжение).

Сходимость рядов.

Критерий Коши сходимости рядов. Признак сравнения. Геометрическая прогресия. Сходимость рядов из степеней натуральным чисел и произведений с логарифмами.

Признаки Коши и Даламбера, вопрос об их применимости.

Комплексные степенные ряды.

Радиус круга сходимости комплексного степеного ряда. Суммирование по частям. Теорема о сходимости произведения стремящейся к нулю последовательности и последовательности, имеющей ограниченные частичные суммы. Признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда.

Абсолютная сходимость.

Определение абсолютной сходимости. Определение суммы и произведения рядов. Пример произведения двух сходящихся рядов, которые расходятся; теорема о сходимости произведения двух рядов, если один из них сходится абсолютно.

Безусловная сходимость.

Определение безусловной сходимости (перестановки сходятся). Теорема Римана о перестановке неабсолютно сходящегося ряда, приводящей к любому значению суммы. Эквивалентность абсолютной и безусловной сходимости.

Интегральный признак сходимости.

Для самостоятельного изучения были предложены темы, отраженные в листках:

20а	- Линейные пространства	(авт. М. Вировец)
20b	- Линейная алгебра	(авт. А. Шень)
25	- Плохие функции	(авт. Л. Чехов)
30a	- Мера Жордана	(авт. М. Вировец)
33	- Приложение мат. анализа	(авт. А. Коган)
34	- Применение определеного интеграла	(авт. из 179 шк.)
35	- Аксиома выбора	(авт. М. Вировец)

Необычные интегралы.

Несобственные, от разрывных 1-го рода функций, главное значение интеграла.

θ-функция, δ-функция, ее производная.

UTEC прощается с вами.