Листок 12. ПРИМЕРЫ ГРУПП.

Выдан 19.01.85 Закрытие 29.01.85

"От абстрактного к конкретному ..."

В этом листочке все a, b, c, x, у,... принадлежат множеству G.

Опр. ГРУППЫ. Множество G называется группой , если
а) на нем задана бинарная операция
б) для любых a, b, c: a*(b*c) = (a*b)*c (ассоциативность)
в) в G имеется элемент е, называемый единичным, такой что для любого элемента a: е*а = е (левая единица)
г) для любого элемента а сущ. а', такой что: а'*а=е (левый обратный)

Опр.2 Абелевой или коммутативной группой называется группа, для любых элементов a, b: a*b = b*а

1. Являются ли группами и абелевыми группами:
а, б) Множество целых чисел относительно операции + или *;
в, г) Множество целых чисел без нуля относительно операции + или *;
д) Множество действительных чисел без нуля по умножению
е) множество всех перемещений плоскости
ж) множество подстановок
з) множество всех линейных функций f(x) = kx + b с k≠0 с операц. композиция

4. а) Доказать единственность единичного элемента т. е. если х≠е, то существует b b*x≠b.
б) обратного элемента для каждого а.

тоже 4. Найти а) e'' 6) a''
в)Доказать: (ab)' = b'a'
(Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше...)

5.Для любых элементов а и b найдется ровно
один х такой что а*x = b
один x и один y, такие что ax = b и ya = b
(вспомните, что такое ровно один)

6. Упростите b'a'bb'aba b) найти у: ayba'= baab'a'

Опр 3.
m-натуральное: a¹ =df= a; a^m+1 = a * a^m;
m = 0: a⁰ =df= e;
m - целое отрицательное a^m = (a^-m)'

7. (a^m)' = (a')^m

Докажите, что для всех натуральных m, n:
8. a^m * aⁿ = a^m+n; a⁰ = e
9. (a^m)ⁿ = a^m*n

10. Построить группу на основе PSV
mod 5 с операцией сложение
mod m с операцией сложение

0пр.4 Симметрией фигуры Ф называтся любое перемещение F: F(Ф)=Ф. Композиция двух симметрии фигуры Ф есть снова симметрия Ф, и множество всех симметрий образуют группу (проверьте). Если фигура Ф многоугольник, то, занумеровав его вершины, можно каждой его симметрии поставить в соответствие подстановку, где каждому номеру вершины ставится в соответствие номер образа.

11. Записать в подстановкак все симметрии
а) правильного треугольника
б) квадрата

Опр. 5 Группа всех симметрий правильного n-угольника называется группой ДИЭДРА и обозначается H_n

12. Показать,что композиция симметрии соответствует произведение подстановок.

1. G - группа из двух элементов: ее = е,еа=а, ае=а. Найти аа.

2. Для любого элемента а: ае=а (представить е=а'a а и воспользоваться ассоциативностью)

3. аа' = е ( расмотрите а''a'аа' )

4 → 2, 3

5 → 5

6. Существует b: ab=b ⇒ a=e

10. (a₁ * a₂ * ... * a_n)' = a_n' * ... * a₂' * a₁'

11. Построить группу на основе NSV mod m с операцией умножение

13. Пусть для любых a: a*a=e. Доказать G-абелева.