ЛИСТОК 26. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

Выдано 11.11.85

В это листке z, u, v, w - комплексные числа, n∈N; k∈Z, остальные - действительные.

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

На множестве C=R⊗R называется множеством комплексным чисел, если на нем заданы операции сложения и умножения.

II

СЛОЖЕНИЕ. Зададим операциию сложения: (a, b) + (c, d) =def= (a+c, b+d)

Задача 1.?а) С образует абелеву группу по сложению
b) Определите разность комплексных чисел.

III

УМНОЖЕНИЕ. Зададим операцию умножения: (a, b)*(c, d) =def= (ac-bd, ad+bc)

Задача 2. С образует поле, т. е. кроме задачи 1:
a) С\(0,0) образует абелеву группу по умножению
b) z*(u+v)=z*u + z*w - дистрибутивность.
c) определите частное двух комплексных чисел

IV

БОЛЬШЕ-МЕНЬШЕ для комплексных чисел не определено !!!!

МОДУЛЬ комплексного числа |(a, b)|=def= √(a²+b²)

Задача 3. а) |z|=0 ⇔ z=(0,0)
b) |u*v| =|u|*|v|

V

Задача 4. Докажите, что подмножество {(а, 0)} изоморфно R:
а) относительно операции сложения
b) относительно операции умножения
с) относительно операции взятия модуля
В дальнейшем комплексное число (а,0) будем записывать просто как а

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА

Определение: i=def=(0, 1)

Задача 5. a) i*i=-1 b) (a,b)=a+b*i

Запись a+bi называется алгебраической формой комплексного числа. Эти числа можно перемножать и складывать, как обычные числа, с учетом того, что i*i=-1

Определение: а) Функция "действительная часть" ℜ(a+bi) =def= a
b) Функция " мнимая часть" ℑ(a+bi)=def= b
с) Функция "взятие комплексносопряженного": z =def= ℜz - ℑz*i

Задача 5. а) u+v=u + v b) u*v=u * v c) u/v=u / v
d) u*u=|u|² e) (u+u)∈R f) u∈R ⇔ u=u

Задача 6. Функция взятия комплексносопряженного является автоморфизмом

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА

Множество R⊗R иногда называют координатной плоскостью, а его элемент (х,у) - точками или (свободными) векторами. Для векторов задано сложение с помощью правила паралелограма, совпадающее (проверьте!) со сложением комплексный чисел, а модуль комплексного числа совпадает с длиной соответствующего вектора.

Задача 8. |u+v| ≤ |u| + |v| b) |u-v| ≥ ||u|-|v||
В каких случаям имеем равенство?

Упражнение 9. Докажите с помощью комплексных чисел, что в произвольном параллелограме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всей сторон.

МАТРИЧНЯЯ ФОРМА

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ на (обычной) плоскости

Вы уже знакомы с линейными операторами, преобразующими систему координат. Важным случаем нелинейного оператора является оператор перехода от декартовой системы координат к полярной:

Функция взятия аргумента определена для всех (r,φ), где r≠0.
Arg((r,φ) = φ + 2πk где π - число "пи",
т.е. она имеет бесконечное число значений для каждой точки. Запись Arg z = φ означает, что одно из значений этой функции равно φ. Когда потребуется однозначная функция, будем писать arg(r,φ)= φ (0≤φ<2π) и называть главным аргументом.

Упражнение 11. Изобразите на координатной плоскости множества точек (r,φ):
a)r = const b) φ = const с)r = φ (спираль Архимеда)
d) r = sin 3φ (роза) е) r = 1/cosφ f) r = √cos 2φ (леминиската)
g) r = 1 + cosφ (кардоида) h) r = 1/cosφ - cosφ (циссоида)

Упражнение 12. Напишите уравнение кривых в полярных координатах:
а) х² + у² = 1 b) у = х² с) (х-1)² + у² = 1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ВИДЕ z = r*(cosφ + i*sinφ) НАЗЫВАЕТСЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ.

УПРАЖНЕНИЕ 13. ЗАПИШИТЕ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ:
А) 3 + 3*I B) -3 - √27 * I С) -1 D)I E) А + BI

УПРАЖНЕНИЕ 14. ИЗОБРАЗИТЕ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК:
A)ℜ(z)> 0 В) |Z - Z₁| = A С) |Z - Z₁| < A
D) A < |z| < B E) |Z-I| = |Z-1|

ЗАДАЧА 15. U=r*(cosφ + i*sinφ), V=s*(cosψ + i*sinψ):
A) U*V = r*s(cos(φ + ψ)+ i*sin(φ + ψ))
B) U/V = r/s(cos(φ - ψ)+ i*sin(φ - ψ))

ЗАДАЧА 16, (ФОРМУЛА МУАВРА)
(r*(cosφ + i*sinφ))ⁿ = rⁿ*(cos(n*φ) + i*sin(n*φ))

УПРАЖНЕНИЕ 17. ВЫЧИСЛИТЕ:
A) (1+i)¹⁰⁰ B) (1- i* √3)¹⁰⁰/2¹⁰⁰
...С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ СУММЫ ПО К ОТ 1 ДО N ОТ:
С) СОS(К*φ) D) SlN((2K-1)*φ) Е) Z + 1/Z = 2*COSφ ⇔ Zⁿ + 1/Zⁿ = 2*COS(n*φ)

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.

ЗАДАЧА 18. А) СКОЛЬКО РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕНИЙ У УРАВНЕНИЯ (cosφ + i*sinφ)ⁿ = 1? НАЙДИТЕ ИХ И ОБОЗНАЧЬТЕ НА ПЛОСКОСТИ, МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ НАЗЫВАЕТСЯ МНОЖЕСТВОМ КОРНЕЙ N-НОЙ СТЕПЕНИ ИЗ 1.
B) ВСЕ КОРНИ ИЗ 1 N-НОЙ СТЕПЕНИ ОБРАЗУЮТ ЦИКЛИЧЕСКУЮ ГРУППУ ПО УМНОЖЕНИЮ.
C) НАЙДИТЕ ВСЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ z =(r*(cosφ + i*sinφ))ⁿ

УПРАЖНЕНИЕ 19, НАЙДИТЕ ВСЕ А) КОРНИ 3 СТЕПЕНИ ИЗ -8
B) КОРНИ 3 СТЕПЕНИ ИЗ i
C) КОРНИ 4 СТЕПЕНИ ИЗ i.