Листок 27ПМ. Многочлены (обобщающий)

В этом листке рекомендуется использовать идеи $3 гл. 2 Агебры 9, избегая, однако, прямых ссыпок на учебник. Повторите также листки 6-8. Доп. литература: В. L. Van-der-Waerden

Определение: Многочленом P(х) над кольцом K называется конечная последовательность козфицентов a_i∈K, записаная в виде: Р(х)=a₀*x⁰+a₁*x¹+...+а_n*хⁿ

Множество многочленов над K обозначается К[x]. Если среди коэффицентов существуют ненулевые, то наибольший их индекс называется степенью многочлена. Обозначение многочлена степени n: P_n(x). Два многочлена равны, если равны все их ненулевые коэффиценты с одинаковыми индексами. Козфиценты P_n(x) обозначим через a_i, Q_m(x) - b_i, T_k(x) - c_i (i,j,k,l,m,n ∈ Z₀)

I

СЛОЖЕНИЕ. P_n(x) + Q_m(x) = T_k(x) ⇐def⇒ для ∀i a_i + b_i = c_i

Задача 1. Многочлены образуют абелеву группу по сложению.

II

УМНОЖЕНИЕ (столбиком ) P_n(x) * Q_m(x) = T_k(x) ⇐def⇒ для ∀i c_i = a₀*b_i + a₁*b_i-1 +...+ a_i*b₀

Задача 2. Многочлены образуют кольцо.

IV

Задача 3. Многочлены нулевой степени и ноль образуют кольцо, изоморфное K. Поэтому a₀*x⁰ будем записывать просто как a₀.

V

св-во ЦЕЛОСТНОСТИ -def- a*b=0 ⇔ a=0 OR b=0

Задача 4. а)приведите пример нецелостного кольца
b) Z, Q, R, С - целостные кольца (во всех последующих задачах будем рассматривать только целостные кольца)
с) многочлены над целостным коммутативным кольцом с единицей образуют также целостное коммутативное кольцо с един.

Задача 5. Напишите программу, доказывающую, что деление многочленов один на другой с остатком всегда выполнимо и однозначно.

Определение: Многочленом от двух переменых (x,y) над кольцом К называется (K[x])[y]; обозначается K[х,у]. Аналогично определяется мночлен от n переменых.

Задача 6.(связь с учебником).
Многочлен по учебнику -def- функция f:K→K: для ∀ x∈K: f(x)=a₀+a₁*x+...+а_n*хⁿ
а) Многочлены совпадают как функции ⇔ они равны
b) Известно, что P(х) меньше 5*(х²+1)³ + 1000 при всех х. Что можно сказать о степени P?

Определение:P a - корень P_n(x) ⇐def⇒ P_n(a)=0

Задача 7. Теорема Безу. P_n(x) делится на x-a ⇔ a - корень P_n(x).

Упражнение 8. При делении многочлена P_n(x) на (x-1) получается остаток 2, а при делении на х-3 - остаток 1. Найти остаток при делении на (х-1)*(х-3).

Если P_n(x) делится на (х-a)^k, но не делится на (х-a)^k+1, то a называют корнем кратности k и рассматривают как k штук совпадающих корней.

Задача 9 а) x_l, x₂,..., x_n - корни P_n(x) ⇔> P_n(x) = a_n*(x - x₁)*(x - x₂)*...* (x - x_n)
b) отличный от нуля многочлен степени n имет не более n корней

Упражнение 10. Разложите на линейные множители над С: а) х²+1 b)x²-2*x+5 с)х³+1 d)x³+x-2
е) x⁴+1 f)x⁴+x²+l g)xⁿ-1

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. Часто от графика некоторой неизвестной функции известно только n точек. Интерполяцией называется проведение через известные точки (х,у) некоторой функции, задаваемой, скажем, многочленом.

Задача 11. Интерполяция по Лагранжу
а) Докажите, что многочлен n-степени

	(x - d0)*(x - d1)*...* (x - di-1)*(x - di+1)*...* (x - dn)
fn =	---------------------------------------------------------------
	(di - d0)*(di - d1)*...* (di - di-1)*(di - di+1)*...* (di - dn)

в точке d_i принимает значение 1, а во всей остальных точках d_j (j≠i) равен 0
b) получите многочлен, проходящий через n+1 точку (d₀,y₀),... (d_n,y_n) как линейную комбинацию f_i(x)
c) найти многочлен степени 3, для которого P(1)=1 ,P(2)=5, P(3)=0, Р(4)+P(5)=8

Задача 12. Интерполяция по Ньютону
f(x) = g₀ + g₁*(x-d₀) + g₂*(x-d₀)*(x-d₁)+ ... + g_n*(x-d₀)*(x-d₁)*...*(x-d_n-1)
Определите коэффициенты g₀, g₁,..., g_n так, что бы в точках d_i f(x) принимала значение y_i путем последовательной подстановки x = d₀, d₁,..., d_n
a) n=2 b) n=3 с) произвольное натуральное n.

Упражнение 13. (Ван-дер-Морд) Доказать, что система

x +	y +	z +	t	= a
x +	2y +	3z +	4t	= b
x +	4y +	9z +	16t	= c
x +	8y +	27z +	64t	= d

при любых a,b,c,d ∈ R имеет единственное решение в действ. числах. Почему тут дана эта задача?

Упражнение 14. Нарисовать множество тех пар (р,q), при которых квадратныый трехчлен x² + p*x + q имеет 2 положительных корня

Задача 15. Рациональные корни многочлена с целыми коэффицентами
а)Пусть несократимая дробь m/q - корень многочлена с целыми козффицентами ⇒ q делит старший член AND m делит младший
b) старший член равен 1 ⇒ рациональный корень является целым
c) Корень натуральной степени из натурального рационален ⇒ он цел
d) Р(х)∈ Z[x]; Р(0) и P(1) - нечетные числа ⇒ Р(х) не имеет целых корней

Задача 16. а)Определите НОД(P_n(x),Q_m(x)) и НОК(P_n(x),Q_m(x)) (Л6)
b) С помощью алгоритма Евклида докажите, что НОД(Р,Q) - единственен

Упражнение 17. а)НОД(х^m-1,хⁿ-1)=х^НОД(m,n) - 1
b) Найти НОД и НОК х⁴ - 4х³ + 1 и х³ - 3х² + 1

Задана 18. P_n(x) и Q_m(x) не имеют общих делителей ⇒
а) Существуют многочлены R(x); T(x): P_n(x)*R(x) + Q_m(x)*Т(х) = 1
b) ∀S_k(x) степени k/<(n+m) ∃ многочлены R(x) степени меньше m и Т(х) степени меньше n: S_k(x) = P_n(x)*R(x) + Q_n(x)*Т(х)
с) Следствие: S_k(x)/(P_n(x)*Q_m(x)) = R(x)/Q_m(x) + Т(х)/P_n(x)
Применяя это св-во несколько раз, получаем разложение дроби S(x)/G(x) на столько дробей, сколько элементарных сомножителей содержится в раззложении G(x) на простые множители.

Задача 19. Однозначность разложения на множители
Любой многочлен разлагается в произведение неприводимых (т.е. таких, которые невозможно разложить дальше) единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы коэффиценты при их старших степенях быыли равны 1.

Определение: Производной(формальной) многочлена Р_n(х) = a₀+a₁x+...+а_n*хⁿ называется многочлен Р'_n(х) = a₁ + 2*a₂*x+...+n*а_n*х^n-1
k-ая производная -def- производная от k-1 производной

Задача 20 а) a - корень кратности k>1 Р_n(х) ⇒ a - корень кратности k-1 Р'_n(х)
b) Напишите выражение для k-ой производной Р_n(х)

Упражнение 21. Найдите кратность корня x=1 для многочлена x²ⁿ - n*xⁿ⁺¹ + n*x^n-1 - 1

Задача 22 а) Формула Тейлора для многочленов:
P(x+a) = P(а) + Р'(а)*x/1! + Р''(а)*x²/2! + ... + Р''...'(a)*xⁿ/n!
b) Р_n(х)= 1 + x/1 + x²/2! + ... + xⁿ/n! не имеет корней кратности больше 1.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ (без доказательства) Любой многочлен из С[х] имеет хотя бы один корень

Задача 23. а) Если все козффиценты комплексного многочлена действительны и a - корень ⇒ a - тоже корень
b) Р_n(х)∈R[x], n - нечетно ⇒ существует хотя бы один корень
c) Любой многочлен из R[x] можно разложить в произведение действительных многочленов 1 и 2 степени

Упражнение 24. Многочлен степени 4 имеет 3 различных действительных корня. Может ли его производная иметь 1 (один) действительный корень?

Упражнение 25. Разложите на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффицентами:
а) х⁶ + 27 b) х⁴ + 4*х³ + 4*х² + 1
с) x²ⁿ - l d) x²ⁿ⁺¹ + 1

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ.

Многочлен кольца K[x₁,..,x_n] называется симметрической функцией переменных x₁,..,x_n, если он переходит в себя при любой перестановке переменных x₁,..,x_n.

Задача 26. Теорема Виета.
(x - x₁)*(x - x₂)*...*(x - x_n) = xⁿ - s₁*x^n-1 + s₂*x^n-2 + ...(-1)ⁿ*s_n
а) выразите s_i через x₁,..,x_n
b?) s₁,..,s_n - симметрические функции x₁,..,x_n. Они называются элементарными

Задача 27. Основная теорема о симметрических многочленах
а) Любой симметрический многочлен из кольца K[x₁,..,x_n] может быть записана в виде многочлена от n переменых s₁,..,s_n
b) причем единственным образом

Упражнение 28. Представить в виде многочлена от s₁,..,s_n
а) х₁² + х₂² +...+ х_n²
b) х₁³ + х₂³ +...+ х_n³

Упражнение 29. s₁,s₂,s₃ ∈ Z ⇒ х₁³ + х₂³ + х₃³ ∈ Z

ЭТО ПОСЛЕДНИЙ ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ ЛИСТОК ПО АЛГЕБРЕ В ЭТОМ ГОДУ

1 2 3 4 a b с 5 a b с 6 7 8 9 а 10 11 а b с 13 14 15 a b с d

---

16 a b 17 а b 18 а b с 19 20 а b 21 22 а b 23 a b с 24 25 abcd

---

26 a b 27 a b 28 a b 29 ЗАКРЫТИЕ

---