Листок 17. Нормальные делители и факторгруппы.

Выдан 19.02.85 Закрытие 2.03.85

"- Ты что, ненормальный ?!!
- Нет, я нормальный, это ты ненормальный!!!"
(из разговора)

СОПРЯЖЕННЫЕ

Опр 1. x и у сопряженные (запись x≅y) ⇐def⇒ ∃ a∈G: y = a*x*a' т.е. существует внутрений автоморфизм f:a(x)=y

1. Доказать ,что ≅ - отношение эквивалентности, т.е.
а) x≅x
b) x≅у ⇒ y≅x
с) x≅у .AND. y≅z ⇒ x≅z

2. G разбивается на кпассы сопряженный элементов (КСЭ) (вспомните, что такое разбиение на классы)

3. Найти эти классы для
а) группы вращений n-угольника
б) группы диэдра квадрата
в) Z_n
г) группы подстановок длины 4
д) группы икосаэдра

4. a∈G и Н -произвольная подгруппа G. Верно ли, что а*Н*а' - подгруппа G?

НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

Опр. 2. H - нормальная подгруппа G ⇐def⇒ она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах G (обоозначение Н⊳G)

5. Придумать ненормальную подгруппу. Бывают ли они в циклических группах?

6. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна

7. Н⊳G ⇔ Н - объединение нескольких КСЭ группы G ⇔ левые смежные классы совпадают с правыми.

8. |G|:|H| = 2 ⇒ Н⊳G

9. Пересечение любого числа нормальных подгрупп группы G являются нормальной подгруппой G.

10. a) H₁⊳G₁ .AND. H₂⊳G₂ ⇒ H₁⊗H₂ ⊳ G₁⊗G₂
b) индукционное обобщение на произведение n групп

Факторгруппа

11. Расмотрим смежные классы по Н в G (x∈qH .AND. y∈gH ) ⇒ ( x*y ∈ (qg)H )

12. Доказать, что мн-во смежных классов по нормальной подгруппе с бинарной операцией xH*yH = (ху)Н образуют группу.

Опр.З. Эта группа называется факторгруппой G по H или G/H

13. Будет ли факторгруппа группы D₄ по подгруппе центральных симметрий изоморфна группе вращений квадрата или группе симметрии ромба?

14. Найти все факторгруппы в
a) D₃
b) D₄
c) Z₂⊗Z₂
d)* Z_n - описать см Л13,Л14
е) вращения тетрадра

ГОМОМОРФИЗМ

Опр. 4. Гомоморфизмом М в N называется отображение f:M→N: ∀ a, b ∈ M f(a)*f(b) = f(ab). Здесь M и N - множества с бинарной операцией, а произведения берутся в соответствующих мн-вах

0пр. 5. Эндоморфизм - гомоморфизм группы в себя

Опр. 6. Гомоморфизм называетсся гомоморфизмом НА ⇐def⇒ ∀(a*x)∈ N ∃ а∈М: f(a) = x

16. G₁ - группа и f - eё гомоморфизм ⇒ f(G₁) = G₂ - группа.

17. Рассмотрим все элементы G₁, которые при гомоморфизме f переходят в элемент x и обозначим их Ax. э - единица G₂. Тогда
a) Aэ ⊳ G₁ (Aэ - ядро гомоморфизма )
b) Ax = х*Aэ

18 Н⊳G₁, построить гомоморфизм, чтобы f(H)=э, f(gH)=х; т.е. решить задачу, обратную 17)

Зададим отображение f(G₁)=G₂ где G₂ состоит из смежных классов по H (G/H).

Опр.7. G/H - факторгруппа

19. f(a) = aH ⇒ f - гомоморфизм т.е. f(a)*f(b)=f(ab).
Верно ли это, если H - ненормальная?

20. Z_n a - образующий |H| =n/m ⇒ Z_n/H = Z_m

21. Верно ли, что для ∀ H⊳Z по +: H ={n*q | n∈Z} , где q∈N. Найти факторгруппы по этим группам.