Листок 18. Гомоморфизм.

Выдан 21.03.85. Закрытие 13.04-85.

"...И ядрам пролетать мешала гора кровавый тел..."

Опр. 1. Гомоморфизмом группы G в группу F ⇐def⇒ отображение f:G→F такое, что f(ab) = f(a)*f(b) для люб. а,b∈G. При гомоморфизме, в отличии от изоморфизма, не требуется взаимооднозначности.
Множество Ker f = {g∈G | f(g)=э} -def- ядро гомоморфизма.

1. Проверить св-ва гомоморфизмов, аналогичные св-вам изоморфизмов из л 16 N4,5.

2. Н⊳G. f сопостовляет каждому элементу g из G смежный класс по подгруппе Н, который содержит g.
Доказать, что f:G→G/H -гомоморфизм G НА G/H.

Опр. 2. Этот гомоморфизм называется естественным.

ТЕОРЕМА 0 ГОМОМОРФИЗМЕ.

3. f: G→F - гомоморфизм ⇒
a) Ker f - подгруппа G
b) Ker f ⊳ G
c) r∈ g*Ker f .AND. s ∈ g*Ker f ⇔ f(r) =f(s)
Формулировка теоремы: "Отображение ф:G/Ker f → F, сопостовляюшее каждому смежному классу g*Ker f → f(g), является изоморфизмом. Для док-ва:
d) ф - отображение на
e) ф - взаимооднозначное
f) ф - изоморфизм
h)?? Расшифруйте: "Гомоморфизм изоморфен некоторому естественному гомоморфизму".

ПРИМЕРЫ НА ТЕОРЕМУ О ГОМОМОРФИЗМЕ.

4. В группе симметрии тетраэдра подмножество H = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} образует нормальную подгруппу.

5. В группе вращений куба подмножество Н = {(1), (13)(24)(1'3')(2'4'), (12')(21')(34')(43'), (14')(41')(23')(32') } образует нормальную подгруппу.

6а) D_n⊳R. ( R - повороты плоскости отн. центра многоугольника)
b) R/D_n изоморфна R.

В дальнейшем "=" для групп обозначать изоморфизм.

7. H₁⊳G₁ .AND. H₂⊳G₂ ⇒ (G₁⊗G₂)/(H₁⊗H₂) = (G₁/H₁)⊗(G₂/H₂)
(Если вам доставляет эстетическое удивольствие формулировка задачи, то из вас может получиться математик)

8. Три качественых вопроса.
∀ G₁, G₂, H₁, H₂ H₁⊳G₁ .AND. H₂⊳G₂:
a) (G₁≠G₂) .AND. (H₁=H₂).AND. G₁/H₁=G₂/H₂
b) (G₁=G₂) .AND. (H₁≠H₂).AND. G₁/H₁=G₂/H₂
a) (G₁=G₂) .AND. (H₁=H₂).AND. G₁/H₁≠G₂/H₂

Опр. 3. Пусть f:G→F - гомоморфизм. Тогда
M⊂G ⇒ f(M) -def- мн-во образов при гомоморфизме всех элементов M
P⊂F ⇒ f'(P) -def- мн-во прообразов при гомоморфизме всех элементов P

9! f(f'(M))≠М

10. Н -подгруппа G .AND. f:G→F - гомоморфизм ⇒ f(H) -подгруппа F.

11. P -подгруппа F .AND. f:G→F - гомоморфизм ⇒ f'(P) -подгруппа G.

АД.МИНИСТРация приветствует решающих 12-28 задачи

ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

Опр. 4. Пусть g∈G. Централизатор g Ц(g)=def= {x∈G |xgx' = g}.

12. а) Ц(g) - подгруппа G
b) |G|/|Ц(g)| = числу элементов в подмножестве G, все x из которого сопряжены g (x≅g)

13. Найти Ц(g) в группе подстановок длины 6, если
а) g=(1 2 3 4)
b) g=(1 2 3)(4 5 6)
Выразить порядок Ц(g) через длины циклов в разложении g.

Опр. 5. Центр группы Ц(G) - мн-во элементов G, коммутирующих со всеми элементами.

14. а) Выберем из G все элементы имеющие сопряженые ⇒ Ц(G) - пересечение централизаторов этик элементов.
b) Ц(G)⊳G

15. Может ли G/Ц(G) быть а) абелевой b) циклической?

КОММУТАНТ И КОММУТАТОР

0пр.6. Элемент a*b*a'*b' называется коммутатором элементов а и b. Подгруппа , порожденная всеми коммутаторами элементов из G называется коммутантом G'.

16. а) G'⊳G
b) G/G' - абелева.

17. Н⊳G .AND. G/Н -абелева ⇔ G' ⊂ H

18. Указать, каким известным группам изоморфны центр и коммутант в группам:
a) Z_n, D_n
b) вращений куба, тетраэдра.

РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ

0пр. 7. G₁= G'; G_n+1=G_n'. G_n - называется n-коммутантом. Если некоторый n-коммутант равен {e}, то группа называется разрешимой.

19. G - неабелева и не имеет нормальных подгрупп, кроме {e} и G ⇒ G - неразрешима.

20. Группа вращений додекаэдра неразрешима.

21. H⊳G .AND. H и G/H - разрешимы ⇒ G - разрешима.

22. |G|=p^k ⇒ а) Ц(G)≠{e}
b) G - разрешима

23. |G|=р² ⇒ G - абелева.

На этой задаче обычно заканчивается изучение теории групп в матшколах. Тем не менее, мы предлагаем вашему вниманию еще несколько задач.

24* Сколько существует неабелевых групп порядка р³?

25* |G|=p*q (p,q - простые) ⇒ G содержит подгруппу порядка р (использовать 12)

26*!! G - разрешима ⇔ ∃ G₁,G₂,...,G_n:
         1) G_n⊳... ⊳G₂⊳G₁⊳G₀=G
.AND. 2) ∀i G_i/G_i-1 - абелева
.AND. 3) G_n - абелева

27* Условие 2) из задачи 26 можно записать иначе:
"Каждая G_i содержит абелеву N_i такую, что N_i⊳G_i .AND. G_i/N_i изоморфна G_i+1.

28**. Задача - исследование.
Группа H_n подстановок с n > 4 - неразрешима.