Листок 14. Подгруппы и смежные классы.

Выдан 2.02.85. Закрытие 12.02.85.

Множество- подмножество
полковник- подполковник...

Расмотрим в группе G некоторое подмножество H. Может оказаться, что Н само является группой относительно той же бинарной операции, заданой на G.
Опр. 1. В этом случае говорят, что H - подгруппа G.

1. H - подгруппа G ⇒
а) единичные элементы в H и G совпадают;
б) если a - элемент H, то элементы,обратные к f в G и H - совпадают.

2. Н - подгруппа G ⇔
1) ∀ a, b ∈ H ⇒ a*b ∈ H .AND.
2) e (единичный элемент G): e ∈ H .AND.
3) ∀ a ∈ H ⇒ a' ∈ H
Замечание : 1) .AND. 2) ⇒ 3)

3. Н - подгруппа G ⇔ ∀ a, b ∈ H: a*b' ∈ H

4.Доказать, что множество поворотов из группы диэдра образуют ее подгруппу, причем циклическую.

5.Найти все подгруппы в группам Z₅, Z₈, Z₁₅.

6. Доказать,что все подгруппы в Z_n имеют вид:
{e, a^d, a^2*d, ..., a^(n/d-1)*d, где n⋮d, a - образующий Z_n
b) Докажите ваше обобщение на случай бесконечных циклических групп.

7. Пересечение двух подгрупп группы G - снова подгруппа G.

8. Рассмотрим бесконечное поле в квадратную клеточку. Найти все подгруппы группы симметрий этого поля.

9. Найти все подгруппы в группе перемещений плоскости сохраняющих ориентацию.

10. Подмножество группы симметрии, сохраняющих ориентацию, образуют подгруппу, (опр.2),называемую группой вращений.

11. В группе вращений многограника найти подгруппы порядков:
*Если возможно,то циклические и нециклические
2, 3, 4, 6, 12
2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 30, 60
Если какой-нибудь подгруппы нет, то покажите это.

Опр.3. Пусть H - подгруппа G; g∈G. Множество {g*h | h∈H} обозначается gH и называется левым смежным классом по подгруппе H.

12. Найти все левые смежные классы в группе многоугольника (л13N16) по подгруппе
а) вращений
б) отражений относительно одной оси

13! Докажем,что это разбиение на классы. Для этого:
а) ∀ x ∈ G ∃ g*H: x ∈ g*H
b)! g*H ∩ q*H ≠ 0 ⇔ g*H = q*H

14! (Теорема Лагранжа) Если Н - подгруппа G ⇒ |G|⋮|H|

Onp. 4 j = |G|/|H| называтся индексом подгруппы.

15. Доказать, что порядок любого элемента - делитель порядка его группы.

16. Доказать,что всякая группа простого порядка циклическая и любой элемент ≠е - ее образующий.

17. Определить правые смежные классы
б) найти правые смежные классы из N12

18. Найти все левые и правые классы
а) группы симметрии многограника по подгруппе вращений
б) группы вращений многограника по одной из подгрупп пор. 3.