Лиcток 16 - Изоморфизм и автоморфизм.

Выдан 12.02.85 Закрытие 22.02.85

Опр. 1. Пусть имеются две группы G и Q. Они называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное отображение f:G→Q, при котором для ∀ a,b из G:f(a*b)=f(a)*f(b). Такое отображение называется изоморфизмом.

Примеры изоморфизмов

1.Какие из следующих групп изоморфны:
1) вращений квадрата
2) симметрии ромба
3) симметрии прямоугольника
4) PSV mod 4 по сложению
5) группы вращений многограников
6) подгруппы из задачи 8,9 листка 14.

2. Привести примеры двух групп одного порядка и не изоморфных.

3** Группа R по сложению изоморфна R>0 no умножению

Общие свойства изоморфизмов.

4. Свойства как отображений
a) f:G→Q - изоморфизм ⇒ f':Q→G - также изоморфизм
6) f:G→Q .AND. - ф:Q→H - изоморфизмы ⇒ fф:G→H - также изоморфизм.

5. Отображения единичного и обратного элементов.
a) е - единица G, э - единица Q; f:G→Q - изоморфизм ⇒ f(e)=э
б) f:G→Q - изоморфизм; ⇒ ∀g∈G: f(g') = (f(g))'

6. Порядки элементов в изоморфных группах:
f:G→Q - изоморфизм; ⇒ |f(g)| = |g|, где g∈G

7. Циклические группы изоморфны соответственно:
a) Z_k - конечного порядка изоморфна PSV mod k
б) Z_∞ - бесконечного порядка изоморфна группе целых по +.

8!(Теорема Кэли)!! Любая группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе S_n, (S_n - группа подстановок длины n).

9. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка 2, 3, 4
b) 5, 6, 7
с)*** n > 7

10. Пусть a - произвольный элемент группы G. Элементом множества Q, соответствующим a, является отображение группы G в себя фа ( фа = а*х для ∀ x из G ). Доказать, что Q с операцией композиция - группа, изоморфная G.

Прямые произведения

Опр 2. Прямым произведение двух групп G⊗H называется множество G⊗H со следующей бинарной операцией: (g₁,h₁)*(g₂,h₂) = (g₁g₂,h₁h₂) произведение g₁g₂ берется в группе G, a h₁h₂ - H.

11. Доказать,что G⊗H - группа.

12. Группа симметрии ромба изоморфна Z₂⊗Z₂.

13. G⊗H изоморфна H⊗G.

14. G, Н - абелевы ⇒ G⊗H - тоже абелева.

15. G₁- подгруппа G и H₁ - подгруппа Н ⇒ G₁⊗H₁ - подгруппа G⊗H.

16. K - подгруппа G⊗H ⇒ ∃G₁ - подгуппа G .AND. H₁ - подгруппа Н: K=G₁⊗H₁.

17. Z_m⊗Z_n - изоморфна Z_m*n ⇔ Н0Д(m, n) = 1.

Автоморфизм.

Опр.З. Пусть g - фиксированный элемент группы G. Отображение f:G→G(в себя), определяемое правилом: ∀ х∈G: f(x) = g*x*g' - называется внутреним автоморфизмом группы, порожденным g (автоморфизмом)

18. f - автоморфизм ⇒ f - изоморфизм группы на себя.

19. Во что переходят при всевозможных автоморфизмах группа симметрии вашего многоугольника
а) группа отображений относительно одной из осей симметрии
б) группа вращений
**. Какие 2 элемента группы симметрии многограника можно перевести друг в друга автоморфизмами. Тот же вопрос для группы вращений.