Листок 31. Число e

1. Последовательность а_n = (1 + 1/n)ⁿ возрастает, а b_n = (1 + 1/n)ⁿ⁺¹ - убывает. (Указание: рассмотреть а_n+1/а_n и b_n/b_n-1 и воспользоваться неравенством Бернулли.)

2. {а_n} и {b_n} сходятся, причём lim a_nn→∞ = lim b_nn→∞. Назовём этот придел числом e.

3. Пусть c_n = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Докажите, что - {c_n} сходится. Обозначим lim c_nn→∞ = э.

4. э = e

5. Докажите, что e - c_n ≤ 1/(n*n!). Вычислите первые 6 знаков числа e

6. Найти пределы последовательностей:
а) (1 + 1/(n+10))ⁿ б) (1 - 1/n)ⁿ в) (1 + 1/n²)ⁿ г)(1 + 1/(3*n))ⁿ

Возведение в степень (по мотивам 22 листка)

7. Для ∀x>0 x∈R и ∀n∈N ∃!y>0; y∈R: yⁿ = x
Указание: Рассмотрите числа вида y ± (x - yⁿ)/((1+y)ⁿ- yⁿ) . Число будем называть арифметическим корнем из x. Обозначение: y = ⁿ√x. = x^1/n

8. (x^1/n)^m = (x^1/(k*n))^(k*m) для любых x∈R; k,n,m∈Z. Поэтому правомерна запись (x^1/n)^m = x^m/n

9. а= x^1/n*y^1/n = (x*y)^1/n для x,y>0 и n∈N
б) x>1, p>q p,q∈Q ⇒ x^p > x^q

Определим теперь x^y для x,y∈R и x>1 (для 1<x<1 определение аналогично):
x^y =def= sup x^p{p≤y|p∈Q}; 1^y =def= 1

10. Основные свойства степенной функции:
а) x>1; y<z ⇒ x^y < x^z - монотонность
б) 1<x<z; y<0 ⇒ x^y < z^y
в) x^y+z = x^y*x^z
г) (x^y)^z = x^y*z
д) f(x) = x^α - непрерывная функция.

Дальнейшие свойства e

11. α∈R\{0} а) исследуйте {(1 + α/n)ⁿ} на монотонность

б) lim (1 + α/n)ⁿn→∞ = e^α

в) (1 + α) < e^α
г) lim x^α*e^-xn→∞ = 0

12. e - иррационально. Указание: n!*e ∉ Z

13**. Формула Стирлинга
а_n = √(2*π*n)*(n/e)ⁿ: а_n < n! < а_n*e^1/(12*n)
Эта формула используется очень широко в науке.

14. Какова приблизительно вероятность того, что в классе из 30 человек найдутся хотя бы двое, у кого совпадают днм рождения? При каком количестве человек эта вероятность больше 1/2?