Листок 22-23. ЧИСЛА (экспериментальный)

Выдан 21.09.85 Закрытие 5.10.85

"Ба, знакомые все лица!..."

В этом листке нельзя использовать все то, что вы знали о числах раньше.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (множество N)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ....

a, b, с, d - произвольные натуральные числа

I

Аксиомы Пеано (основные свойства натуральный чисел)

(A) 1 - натуральное число
(B) Для любого a ∃ единственное следующее за ним a⁺
(C) a⁺ ≠ 1
(D) a⁺=b⁺ ⇒ a=b
(E) "Принцип индукции" Любое подмножество натуральным чисел, которое содержит 1 и вместе с любым a еще и a⁺, содержит все натуральные числа.

II

СЛОЖЕНИЕ: Зададим бинарную операцию сложения свойствами (1), (2)

(1) а + 1 = a⁺
(2) а + b⁺ = (а + b)⁺

Тогда доказываются:
(3) (a+b)+c=a+(b+c)
(4) a+b=b+a

III

УМНОЖЕНИЕ: Зададим бинарную операцию умножения свойствами (6),(7)

(6) а*1=а
(7) а * b+ = a*b + a

Тогда доказываются:
(8) (a*b)*c=a*(b*c)
(9) a*b = b*a
(10) a*(b+c)=a*b+a*c
(11) a*b=a*c ⇒ b=c

IV

БОЛЬШЕ-МЕНЬШЕ: Зададим отношения порядка:

а > b ⇐def⇒ b < a ⇐def⇒ a=b+c Тогда доказываются:

(12) Всегда справедливо только одно из высказываний a=b ; a<b ; a>b
(13) a<b AND b<c ⇒ a<c
(14) a<b ⇒ a+c< b+c
(15) a<b ⇒ a*c<b*c

ТЕОРЕМА (16) Каждое непустое множество натуральный чисел содержит наименьшее число, т.е. число, которое меньше всек остальных.

VII

Задача 1. Докажите указанные вам св-ва натуральных чисел,опираясь на все предыдущие свойства.

Упражнение 2. а) 2*2=4 b) 2<5 с) 5≠7

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

I

Задача 2. Пусть на множестве N⊗N задана эквивалентность: (a,b)=(c,d) ⇐def⇒ a+d=b+c. Доказать, что этим задается разбиение на классы эквивалентности.

Определение. Множество этих классов называются целыми числами (Z), и мы будем их обозначать m, n, k

II

СЛОЖЕНИЕ: Зададим операцию сложения: (а,b)+(с,d)=def=(а+с,b+d)

Задача 3. Целые числа образуют абелеву группу по сложению:
(1) бинарность
(2) существует нулевой элемент (а,а)
(3)(m+n)+k=m+(n+k)
(4) m+n = n+m
(5) ∀m ∃! ед. (-m): m + (-m) = нулевому элемент.

III

УМНОЖЕНИЕ. Зададим операцию умножения (а,b)*(с,d)=def=(ac+bd,ad+bc)

Задача 4. Целые числа образуют коммутативное кольцо с единицей, т.е. вместе со свойствами (1)-(5) справедливы и
(6) m*n принадлежит Z
(7) существует единичный элемент
(8) (m*n)*k = m*(n*k)
(9) m*n = n*m
(10)m*(n+k) = m*n + m*k
(11)m*n=m*k ⇒ n=k

IV

БОЛЬШЕ-МЕНЬШЕ. Зададим отношения порядка: (a,b)<(c,d) ⇐def⇒ (с,d)>(a,b) ⇐def⇒ a+d < b+с

Задача 5. Для целых справедливы св-ва натуральный чисел (12)-(14). Обобщите и докажите (15) и на случай "с" < (а,а)

VI

Определение. Число (a,a) назовем нулем 0. Числа, большие нуля - положительные целые числа, а меньше - отрицательные.

Задача 5. Положительные целые числа изоморфны натуральным и по сложению и по умножению.

В дальнейшем положительные числа (а,b) будем обозначать а-b, а отрицательные -(b-а)

VII

Упражнение 7. а) 5-7=? b) m*m>0 с) (m-n)*(m+n)=?

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

I

Задача 8. Пусть на множестве Z⊗N задана эквивалентность: (m,a)=(n,b) ⇐def⇒ m*b=n*a. Тогда:
a) это разбиение на классы эквивалентности
b) действует закон сокращениз дробей: (a*m, a*b)=(m, b)

Определение. Множество этик классов называется множеством рациональный чисел Q. Рациональные числа обозн. р, q, r.

II

СЛОЖЕНИЕ. Зададим операцию сложения: (m,а)+(n,b)=def=(mb+na,ab)

Задача 9. Q образует абелеву группу по сложению.

III

УМНОЖЕНИЕ. Зададим операцию умножения: (m,а)*(n,b)=def=(m*n, a*b)

Задача 10. Q образует поле, кроме задачи 9:
a) Q\(0,а) образует абелеву группу по умножению
b) p*(q+r) = p*q + p*r - дистрибутивность

IV

БОЛЬШЕ-МЕНЬШЕ. Зададим отношение порядка: (n,b)>(m,a) ⇐def⇒ (m,a)<(n,b) ⇐def⇒ m*b < n*a

Задача 11. Q - упорядоченное поле, т.е. справедлива задача 5 для рациональным чисел.

VI

Задача 12. Подмножество {(m,1)} изоморфно множеству Z и по сложению и по умножению.

В дальнейшем рациональное число (m,a) будем обозначать m/a, а число m/1=m

VII

Задача 13. p<q ⇒ ∃r: p<r AND r<q.

Упражнение 14. а) 22/7 < 28/8 b) 1/2 >91/179

СЕЧЕНИЯ ДЕДЕКИНДА

х,у,z,u - множества рациональных чисел, "∈"=принадлежит ("элемент" ∈ "множеству")

Определение: х - сечение ⇐def⇒ 1)∃р∈х AND сущ. r∉x
AND 2) (р∈х AND q<p )⇒ q∈х
AND 3) в х нет наибольшего элемента

Задача 15. (р∈х AND q∉x) ⇒ p<q

Опр. Рац. числа ∈х называют нижними числами сечения;
Рац. числа ∉х называют верхними числами сечения;

Задача 16. u={p| p<r (r фиксированно)} ⇒ u - сечение AND r - наименьшее из верхних чисел.

Определение. Такие сечения называются рациональными.Запись: u=r^*

IV

БОЛЬШЕ-МЕНЬШЕ.

Зададим отношение порядка:
(a) (х<у) ⇐def⇒ (y>x) ⇐def⇒ (∃p: (р∈у AND p∉x)
(b) (x≤y) ⇐def⇒ (y≥x) ⇐def⇒ x<y OR x=y
(c) х - положительно ⇐def⇒ x >0^*

Задача 17. Докажите для сечений а)св. 12 b) св. (13)

II

СЛОЖЕНИЕ. Зададим операцию сложения: x+y = {p| p=r+s; p∈х, s∈y}

Задача 18. Сечения образуют абелеву группу по сложению:
а)бинарность b)ассоц. с) 0^* d)обратный е)коммутативна f) кроме того, выполняется (14) для сечений

III

УМНОЖЕНИЕ

Определение. Модуль |x| ⇐def⇒ (х, если x≥0^*; -x, если х<0^*

Зададим операцию умножения следующими соотношениями:
x*y = {p| р=r*s, r∈х, s∈y}, если х≥0^*, у≥0^*;
x*y = -(x*|y|), если х≥0^*, у<0^*;
x*y = -(|x|*y), если x<0^*, у≥0^*;
x*y = |x|*|y|, если х<0^*, у<0^*.

Задача 19. Сечения без 0^* образуют абелеву группу по умнож.:
а)бинар. b) ассоц. с) 1^* d) х' е) коммутативность
f)кроме того, выполняется для сечений (15) и его обобщение.

Определение. x-y =def= x + (-y); x/y =def= x*y'

VI

Замечание. Из задач 16,17,18 следует, что сечения образуют упорядоченное поле. В дальнейшем сечения будем называть вещественными или действительнными числами, а множество действительных чисел обозначать R.

Задача 20. х < у ⇒ ∃r: x<r<y

V

ПОЛНОТА вещественых чисел

Задача 21. Пусть A и B - разбиение R на два непустых класса AND ( x∈A AND y∈B ⇒ x<y). Тогда ∃ единст. z: ∀x∈A: x≤z AND ∀у∈В z≤у )

Упражнение 22. ∃! единственное x>0: x²=2
b) этот x∉Q

Определение. R\Q называется множеством иррациональных чисел.

VI

Определение. Множество M ограничено сверху ⇐def⇒ ∃x: ∀y∈M: y<x. x называется верхней гранью
b) Множество M ограничено ⇐def⇒ ∃x: ∀y∈M: |y|<x

Определение. x - точная верхняя грань M ⇐def⇒ x - верхняя грань M AND x - наименьшая из верхних граней.
Она обозначается supM

Упражнение 23. Запишите в кванторах определения supM и infM (точной нижней грани)

Задача 24! Пусть E - непустое множество вещественных чисел, ограниченное сверху ⇒ ∃ supE

VII

Упражнение 25. Найти supM и infM (если они существуют)
a) A = {x_a | x_a = 1 + 1/6^a}
b) A = {z | z = x+y; -1≤x<1; -3≤y≤2}
c) A = {z | z = x*y; -1<x<10; -1≤y<2}
d) A = {x_a | x_a = (2^a+1 + 3^a)/3^a}
e) A = {x_a | x_a = 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/a}