ЛИСТОК 32. Бином Ньютона.

"Что есть лучшего? -
сравнив прошедшее, свести его с настоящим"
К.Прутков.

ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

1. Докажите формулу для С_n^k по индукции для n.

2. Для ∀ n сумма С_n^k с четными k равна сумме С_n^k с нечетными k.

3. k=0 n-1∑ С_n^k*С_n^k+1 = С_2*nⁿ⁺¹

4. Задача 473 2).3) из Алгебры 9.

5. Найти k,n, если С_n+1^k: С_n^k+1: С_n^k-1 =6:5:2

6.Докажите а) тождество: С_n^k + 3*С_n^k-1 + 3*С_n^k-2 + С_n^k-3 = С_n+3^k
б) неравенство: С_2n+kⁿ * С_2n-k^k ≤ (С_2nⁿ)²
в) Найти max (1+x)³⁶ + (1-x)³⁶ при |x|≤1

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

"-Ну да, неизвестно, - послышался все тот же дряной голос из кабинета,- подумаешь, бином Ньютона!"
М.Булгаков "Мастер и Маргарита"

7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

а) Выложите из трех кругов правильный треугольник со стороной 2. Сколько потребуется кругов для треугольника со стороной три, четыре... Докажите, что эти числа (т. н. треугольные) лежат во втором столбце прямоугольногго треугольника Паскаля.

б) Тот же вопрос для правильных тетраэдров, выложенных из шаров (см. 3 столбец)

в) Сколько мячей содержится в пирамиде, у которой в основании выложен квадрат n*n, в следующем слое (n-1)*(n-1) мяч и наверху только один мяч

8. ЧИСЛА ФИБОНАЧИ

а) Докажите, что суммы чисел, стоящих на диагонали пр. тр. Паскаля из левого нижнего в правый верхний угол образуют последовательность чисел Фибоначи.

б) Расмотрите суммы G_n чисел стоящих на линиях, паралельных линии 1-5-3 и докажите, что G_n =G_n-1 + G_n-3 при n>3

9. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕСЫ (их нравы)

а) Игрок имеет 1 долллар и в каждой игре с вероятностью р выигрывает 1 доллар, а с вероятностью 1-р проигрывает 1 доллар. С какой вероятностью он обанкротится?

б) На тропе в k шагах от пропасти стоит пьяница, который равновероятно делает шаг вперед и назад. Какова вероятность того, что он свалится в пропасть за n шагов или быстрее?

10. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА (из опыта работников зоопарка)

Сколько существует способов рассадить n зверей в m нумерованных клеток, если мы имеем дело со стадом а) бармаглотов б) фермионов в) бозонов. Биологи сообщают, что все бармаглоты отличаютстя между собой, а фермионы и бозоны - нет. Кроме того, очень опасно сажать более одного фермиона в клетку. Как изменится ответ, если клетки будут ненумерованны (неразличимы)?

"Не в совокупности ищи единства, но более - единообразии разделения" К.Прутков

11. ТРИНОМИНАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦЕНТЫ

Выпишите в треугольник коэффиценты разложения тринома (1+x+x²)ⁿ Исследуйте св-ва триноминального треугольника, аналгичные св-вам тр. Паскаля.

12. ТРЕУГОЛЬНИК ЛЕЙБНИЦА

Откинув в тр. Паскаля 1 и заменив числа на обратные, получаем тр. Лейбница. В тр. Лейбница:
а) число равно сумме двух стоящих под ним (в тр.П. "над" ним)
б) сумма k-го (k>1) столбца в прямоугольном треуголльнике Лейбница равна числу 1/(k-1) (столбцы нумеруем с первого)
в) исследуйте другие св-ва треугольника Лейбница.

13. ОПТИКА

Напомните в 10 классе.

14. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦЕНТЫ

(x+y+z)ⁿ =def=∑ D^k,_n^m,l * x^k * y^m * z^l
a) k+m+l=n
б) D^k,_n^m,l = n!/(k!*m!*l!)
в) Какой смысл имеют полиномиальные коэффиценты в задаче с шарами
г) обобщите на случай i переменых

"Усердие все превозмогает" К.Прутков

15. В автобусе

а) Сколькими способами можно разменять 20 коп?
Указание: рассмотрите (x¹+x²+x³+x⁵+x¹⁰+x¹⁵)²⁰

б) Сколько существует счастливых билетов от 000000 до 999999?
Указание: воспользуйтесь производящими функциями.

16. ДЕЛИМОСТЬ

Для ∀k: 0<k<n С_n^k⋮p ⇔ p∈P AND n=p^m

1 2 3 4 2) 3) 5 6 а б в 7 а б в 8 а б 9 а б 10 а б б 11

---

12 а б 14 а б в г 15 а б

---