ЛИСТОК 4. ИНДУКЦИЯ.

Срок выдачи 2.10.84.

1. а) 1+2+3+...+n = n(n+l)/2
b) 1²+2²+3²+. . - +n² =n (n+1)(2n+l)/6
c) 1²-2²+3²-4²+...+(-1)ⁿ⁺¹*n² = (-1)ⁿ⁺¹*n(n+1)/2
d) 1³+2³+3³+...+n³
е) 1*2+2*3+... +n(n+l) = n(n+l)(n+2)/3
f) 1*4+2*7+...+n(3n+1)
g)(1-1/4)(1-1/9).....(1-1/(n+1)²)

2. Найти: а) 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/n/(n+1)
b) 1+3+5+...+(2n-1)
с) 1/1/3+1/2/4+1/3/5+...+1/n/(n+2)

3. а) 1*1!+2*2!+...+n*n!=(n+l)! - 1
b) 1/2!+2/3!+...+n/(n+1) !

4. "Доказать", что все треугольники подобны.

5. Составить таблицу для первых 5 членов, вывести и доказать формулы для суммы ряда
а) 1+2+2²+2³+...+2^k-1
b) 1/3+1/15+.. .+l/(4n² - l)
с*) 1/1/2/3+1/2/3/4+ ... +1/(k-l)/k/(k+1)

6. Дано: а > -1. Доказать: (l+a)ⁿ ≥ 1+n*a

7. a) n⁵ - n делится на 5
b) 6²ⁿ - l делится на 35

8. a) 2*n^½ > 1+2^-½+3^-½+...+n^-½ > n^½
b) 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... 1/(3n+1) > 1
c)4ⁿ/(n+1) < (2n)!/n!²

9.^* a^k+a+l/a целое ⇒ a^k + a^-k ТОЖЕ ЦЕЛОЕ

10. Доказать,что любую сумму денег, большую 7 копеек можно уплатить без сдачи монетами по 3 и 5 копеек.

11. На какое максимальное число областей делит
а) n прямых плоскость?
b) n плоскостей пространство ?

12.^** 1⁶ + 2⁶ + 3⁶ +...+ n⁶
1^k + 2^k + 3^k +...+ n^k