Листок 30. Топология

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

Упражнение 1. Являются ли метрическими пространствами:
a) R с метрикой ρ(x,y) = sin²(x-y)
b) R с метрикой ρ(x,y) = arctg|x-y|
c) Окружнось с метрикой: кратчайшая длина дуги между точками
d) Произвольное множество с метрикoй ρ(x,x)=0; ρ(x,y)=1 при x≠y,
е) Множество всех ограниченных на множестве М функций с метрикoй ρ(f,g)= sup { f(x)-g(x) | x - любое из M}

Упражнение 2.а) ρ - метрика на M ⇒ ξ(x,y) = min(1, ρ(x,y)) - также метрика на M
b) На R^∞ введена норма : ||x|| = x/(1+|x|); ||+∞||= +1; ||-∞||=-1 Постройте метрику, соответствующую этой норме.
c) Постройте метрику с диаметром d, которой принадлежит ε-окрестность точки, причем 2*ε > d.

Задача 3. ρ - метрика на М, ξ - метрика на К ⇒
a) φ=ρ+ξ b) φ = max { ρ ξ } c) φ = √(ρ²+ξ²)
- метрики на M⊗K

ТОПОЛОГИИ

Упражнение 4. Придумайте 2-3 интересных примера топологий

В этом разделе все будет происходить во множестве Х с топологией Ξ

Задача 5 а) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто
б) Объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто
с) Х и пустое множество замкнуты.
d) δА - замкнута

а) Окрестность (просто) точки -def- любое открытое множество содержащие эту точку.
б) х - точка прикосновения для А, если любая окрестность х пересекается с А
с) Замыкание А (обозначается [A]) -def- объединение всех точек прикосновения А
d) Внутреность А (обозначается Int A ) =def= Х\[X\A]
e) Граница А (обозначается δА ) =def= [A]\A

Задача 6 а) А - замкнуто ⇔ [A] = A
b) открытое А пересекается с В ⇔ А пересек. с [B]
c) A ⊂ [A] d) A ⊂ B ⇒ [A] ⊂ [B] e) [A ∪ B] = [A] ∪ [B]
f) [[A]]=[A] g) [A] ⊂ A ⇒ A - замкнуто

Определения:

а) х - внутреняя для А -def- x ∈ Int A
b) x - граничная для А -def- x ∈ δА
с) х - предельная для А -def- в любой окрестности х существуют точки А, отличные от х ( в чем отличие от точки прикосновения?)

Задача 7. а) Int A - открыто
b) Множество предельных точек A - замкнуто
c) Множество предельных точек A, объединенное с А, - замкнуто
d) δА - замкнута.

Предельные точки и точки прикосновения

Пусть (М,ρ) - метрическое пространство. Топологией, порожденной метрикой ρ, называется семейство всех множеств U= {для ∀х∈U: ρ(x,U)>0}

Задача 8. a) Докажите, что порожденая топология - действительно топология
b) Постройте порожденые топологии на R и С с естественными метриками

Задача 9а) Для любых ∀х,y ∈ М x≠y ∃ их непересекающиеся окрестности
б) Приведите пример топологии, в которой а) не выполняется

Задача 10. A - открыто ⇔ вместе с любой точкой х А содержит и некоторую ε-окрестнось точки х.
b) А - замкнуто ⇔ {всех точек прикосновения А} ⊂ A

Задача 11. ПРИНЦИП Больцанно-Веейрштрасса
Любое ограниченное бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

Задача 12. Опишите а) все замкнуто-открытые множества
б) все открытые(замкнутые) множества в R
с) все открытые(замкнутые) множества в Q

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение
Последовательнсть {x_n} сходится в М к а (обозначается x_n→а при n→∞) ⇐def⇒ для ∀ε>0 ∃k: для ∀n>k: ρ(a,x_n)<ε.
Иначе x_n→а при n→∞ -def- в любом шаре с центром в а лежат все x, начиная с некоторого.

Задача 13. Если предел последовательности существует ⇒
а) он единственен б) последовательность ограничена

Задача 14. x_n→а; y_n→b при n→∞ ⇒
a) лемма о непрерывности расстояния: ρ(x_n, y_n) → ρ(a,b) при n→∞
b) лемма о мажорировании: если для ∀n x_n < y_n ⇒ a≤b
c) сумма (x_n + y_n) → а+b при n→∞

Задача 15. а) Последовательность сходится в R с естественной метрикой ⇔ она сходится в метрике из 1b,OR 2a OR 2b
b) Тот же вопрос для R⊗R и метрик из задачи 3
Такие метрики называются эквивалентными

Задача 16* Докажите, что ρ(x,y)= | ||x|| - ||y|| | на R^∞ эквивалентна естественной на R (норма в смысле 2b)

Определение: а - предельная точка последовательности {x_n}, если для ∀ε>0, ∀k∈N ∃ n>k: ρ(x_n,a)<ε
(Чем отличается предельная точка последовательности от предела последовательности и от предельной точки мнoжества?)

Задача 17. Последовательность имеет предел ⇒ она имеет ровно одну предельную точку. Верно ли обратное?
b) Последовательность имеет предельную точку ⇒ можно выбрать подпоследовательность, сходящуся к а.

Задача 18.а) Сформулируйте и докажите Б-В для последовательностей в R
b) Справедлив ли он для последовательностей в Q?

1 a b c d e 2 a b c 3 a b c 4 5 a b c 6 a b c d e f g 7 a b c d

---

8 a b 9 a b 10 a b 11 12 a b c 13 a b 14 a b c 15 ab 16 17ab18ab

---