Листок 21. Счетные множества.

Выдан 3.09.85 Закрытие 15.09.85

EST MODVS IN REVS
(есть мера в вещах. - лат.)

Опр. 1. Если существует взаимно-однозначное отображение множества A на множество B, то A и B равномощны. |A|=|B| (A~B)

Опр. 2. Пусть J_n - множество первых n-натуральным чисел:
J_n = {1,2,...,n}; N- множество всех натуральных чисел.
(а) A - конечно ⇐def⇒ ( ∃n: A~J_n ) OR (A = ∅)
(b) A - бесконечно ⇐def⇒ NOT (A- конечно)
(c) A - счетно ⇐def⇒ A~N
(d) A - несчетно ⇐def⇒ NOT ( A - конечно OR A - счетно)
(e) A - не более чем счетно ⇐def⇒ ( A - конечно OR A - счетно)

Напоминание

Установить взаимно-однозначное отображение A→В в случае бесконечных числовым множеств означает указать формулу фукции (или объединение формул), заданную на A и имеющую значение в B, а потом доказать взаимооднозначность, т. е. указать формулу обратной функкции, и при необходимости доказать, что это тоже функция. Отсутствие взаимной однозначности тоже надо доказывать.

1. а) Записать без отрицания в кванторам (b),(d) из опр 2
b) Определить отношение "менее мощно" ( |A|<|B|).

2. Когда два конечных множества равномощны?

3. Равномощны ли:
(а) {1,2,3,...} и {2,3,4,...}
(b) { ученики бывшего 8в } и { ученики 9в }
(c) Множества добрых и злых волшебников
(d) Множество сказок и сказочников
(е)* {умные} и -{дураки} (см. Окуджаву)

4. Доказать равномощность (разрешается графическое решение)
а) [0 ; 1 ] и [ 0 ; 2 ]
b)* [0 ; 1 ] и ] 0 ; 1 [
c) Прямой и полуокружности без концов
d) ] -1 ; 1 [ и числовой прямой
e) Точек графиков у=2*х² и у=х-5
f)* Множество точек круга без центра и разности всей плоскости и круга
g)**Множество ваших точек и точек окружающего пространства.

5. a) Z₀~N b) {2,4,6,8,...}~N с) Z~N
d) A⊂N ⇒ A не более чем счетно (Указание: в A существует наименьшее число)
e) P~N ( P - множество простых чисел)
f) A - бесконечно; В-не более чем счетно ⇒ (A∪B)~A
h) A - бесконечно ⇔ ∃B⊂A: B~A

6. а) Объединение или разность счетного и конечного - счетно
b) Объединение двум счетных множеств счетно
c) Объединение конечного числа счетных множеств счетно
d) Объединение счетного числа конечных множеств не более чем счетно (верно ли, что оно всегда счетно ?)

7. а)!! Обединение счетного числа счетных множеств - счетно
b) Множество N⊗N - счетно
c) Множество N⊗N⊗...⊗N = N^m - счетно (индукция)
d) Q~N ( Q - множество рациональных чиисел)
e) Множество точек n-мерного пространства с целыми (рациональными координатами) счетно

8 а) Множество непересекающихся интервалов внутри отрезка [0 ; 10] не более, чем счетно
b) Множество непересекающихся кубов не более, чем счетно
c) Множество ваших потомков никогда не будет более, чем счетно

9*. Множество алгебраических чисел счетно

10! а)! Мн-во конечных последовательностей но 0 и 1 счетно
b)!!*Мн-во бесконечных последовательностей но 0 и 1 несчетно

11*? Множество биологических клеток живших, живущих и будущих жить во Вселеной не более , чем счетно.

Указание: Выпишите элементы этих множеств в бесконечную