ЛИСТОК 10. Дополнительный. Теория чисел.

1. Решить в целых числах
a) 19*x² + 28*y² = 729
b) x*y/z + x*z/y + y*z/x = 3
c) a⁴ + 4*b⁴ = 2*c⁴ + 8*d⁴
d) 1 + x + x² + x³ = 2^y
e) 1! + 2! + ... + x! = y²
f) x + y + z = x*y*z в натуральных числах.

2. Доказать: НОК(1,2,3,...,2*m) = НОК(m+1,m+2,...,2*m)

3. Доказать: если a - число делителей натурального числа b, то произведение всех делителей равно квадратному корню из b^a

4. В десятичной записи числа встречаются цифры 1, 3, 7, 9. Доказать, что можно переставить цифры так, что получится число, делящееся на 7.

4. Доказать, что если натуральные числа f, b, c удовлетворяют условию aⁿ + bⁿ = cⁿ (теорема Ферма), то a, b, c больше или равно m

5. Доказать, что если целые числа a, b удовлетворяют соотношению 2*a² + a = 3*b² + b, то (a - b) и (2*a + 2*b - 1) - квадраты целых чисел.

6. Найти все простые числа p, для которых 4*p²+1 и 6*p² - 1 - тоже простые.

7. Решить в рациональных числах 1/x + x = целому числу.

8. Найти число различных счастливых билетов

9. Найти четыре числа, сумма каждой пары которых и сумма которых представляла собой точные квадраты.

10. а) Если бы четверть от двадцати равлялась четырём, то чему бы равнялась треть от десяти?
б) добавьте 3 к 182, что бы результат получился меньше 20
в) Какие три цифры при умножении на 5 дают 6?
г) Найдите дробь, у которой числитель был меньше знаменателя и это свойство сохранялось бы при переворачивании дроби.
д) напишите 5 нечетных цифр, которые в сумме дают 14.

11. Можно ли найти числа a и b, что a^b + b^a = 1984 (пример 3⁷ + 7³ = 1844)

12. Съезд Объединенного общества странствующих попрошаек собрался, что бы решить вопрос о том, следует ли объявлять забастовку, требуя сокращения рабочего дня и увеличения податей. Было решено, что при голосовании те члены общества, которые отдадут свои голоса в пользу забастовки, останутся стоять, а те, кто против, сядут.
- Джентельмены, - сказал председатель собрания после подсчета голосов, - имею удовольствие сообщить, что забастовка утверждена большинством, состовляющим 1/4 опозиции (громкие возгласы одобрения)
- Господин председатель, - крикнули сзади, - кое кто из нас не сиог сесть!
- Почему?
- Да здесь нет стульев
- Тогда, быть может те, кто хотел, но не смог сесть, не откажутся поднять руки... Я вижу, вас 12 человек, так что забастовка отменяется большинством в один голос (свистки и беспорядок в зале). Сколько членов Общества попрошаек участвовало в голосовании?