Листок 28. ПРЕДЕЛЫ.

Отрезок [a,b] - ловушка для последовательности {x_n} -def- если почти все x_n лежат в [a,b].
Отрезок [a,b] - кормушка для последовательности {x_n} -def- если бесконечно много x_n лежат в [a,b].

Задача 1. [a,b] - ловушка ⇒ он кормушка. Верно ли обратное?

Упражнение 2. Могут ли [0,1] и [2,3] являться одновременно для {x_n} а) кормушками b) ловушками?

Задача 3. а) Существуют ли последовательность, не имеющая ни одной кормушки?
b) Существуют ли последовательность, для которой любой отрезок является кормушкой?

Упражнение 4. [0,1];[9,10] - кормушки для {x_n}. Существуют ли для этой последовательности а) ловушка длины 1 b) ловушка длины 9?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для ∀ε>0 ∃k∈N такое, что для ∀ n>k |x_n-а|<ε. Обозначение lim x = a n→∞ или x_n→a при n→∞.

Задача 5. x_n→a при n→∞ ⇔ любой отрезок с центром в точке a является ловушкой для {x_n}

Задача 6. а) x_n→a при n→∞ ⇒ любой отрезок с центром в в точке a - кормушка, а никакой отрезок, не содержащий а, не является кормушкой.
b) верно ли обратное?

Упражнение 7. Какие из следующих последовательностей имеют пределы:
а)1;-1/2;1/3;-1/4;1/5;...
b) 1;1+1/2; 1 + 1/2+1/4;...
с) 1; 2; 3; 4;...
d) -1; 1; -1; 1;...
е) 1; 1; 1; 1;...
f) 0.2; 0.22; 0.222; 0.2222;....
g) 0; 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; 1/4;... f) 0; 3/2; -2/3 ; ....; (-1)ⁿ⁺¹/n;....

Задача 8. Могут ли два различных числа быть пределом одной и той же последовательности?

Определение предельной точки.
Число а называется предельной точкой последовательности {x_n} если ∀ε>0 ∀k∈N ∃ n>k |x_n-а|<ε.

Задача 9. а - предельная точка последовательности {x_n} ⇔ любой отрезок с центром в а является кормушкой для {x_n}.

Задача 10. а - предел {x_n} ⇒ а - предельная точка {x_n} AND у {x_n} нет других предельный точек, кроме а.

Упражнение 11. Для каждой из следующих последовательностей укажите все ее предельные точки:
a) x_n = (n+1)/n b) x_n = (-1)ⁿ c) x_n = sin n
d) x_n = n^(-1)n е) x_n = n
f) 1/2; 1/3; 2/3; 1/4; 2/4; 3/4; 1/5; 2/5; 3/5; ...

Задача 12.а) Докажите, что всякая ограниченая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
b) справедливо ли а) в случае не действительных, а рациональных последовательностей?

Задача 13. дайте определение последовательности, стремящейся к ∞.

Упражнение 15. Какие из следующих последовательностей ограничены, не ограничены, стремятся к ∞:
a) _n = n b) x_n = n*(-1)ⁿ с) x_n = (-1)^(-1)n
d) x_n = { n при четном n и √n при нечетном n }
e) x_n = 100*n/(100 + n²)

1 2 a b 3 a b 4 a b 5 6 a b 7 a b c d e f g h 8 9 10 11 a b c12 a b 13 15 a b с d e f

---

Листок 28. ПРЕДЕЛЫ.(альтернативный)

Интервал (а-ε;а+ε), где ε>0 назыывается ε-окресностью точки а и обозначается O_ε(а)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для ∀ε>0 ∃k∈N такое, что для ∀ n>k |x_n-а|<ε. Обозначение lim x = a n→∞ или x_n→a при n→∞.

Задача 5. x_n→a при n→∞. ⇔ любая ε-окресность а содержит почти все члены этой последовательности.

Упражнение 6. Что означает, что число а не является пределом последовательности {x_n}?

Упражнение 7. Какие из следующих последовательностей имеют пределы:
а)1;-1/2;1/3;-1/4;1/5;...
b) 1;1+1/2; 1 + 1/2+1/4;...
с) 1; 2; 3; 4;...
d) -1; 1; -1; 1;...
е) 1; 1; 1; 1;...
f) 0.2; 0.22; 0.222; 0.2222;....
g) 0; 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; 1/4;... f) 0; 3/2; -2/3 ; ....; (-1)ⁿ⁺¹;....

Задача 8. Могут ли два различный числа быть пределом одной и той же последовательности?

Определение предельной точки.
Число а называется предельной точкой последовательности {x_n} если ∀ε>0 ∀k∈N ∃ n>k |x_n-а|<ε.

Упражнение 9, Докажите, что любая ε-окресность предельной точки содержит бесконечно много членов последовательности.

Упражнение 11. Для каждой из следующих последовательностей укажите все ее предельные точки:
a) x_n = (n+l)/n b) x_n = (-1)ⁿ c) x_n = sin n
d) x_n = n^(-1)n е) x_n = n
f) 1/2; 1/3; 2/3; 1/4; 2/4; 3/4; 1/5; 2/5; 3/5; ...

Задача 12.а) Докажите, что всякая ограниченая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
b) справедливо ли а) в случае не действительных, а рациональных последовательностей?

Задача 13. дайте определение последовательности, стремящейся к ∞.

Упражнение 15. Какие из следующих последовательностей ограничены, не ограничены, стремятся к ∞:
a) _n = n b) x_n = n*(-1)ⁿ с) x_n = (-1)^(-1)n
d) x_n = { n при четном n и √n при нечетном n }
e) x_n = 100*n/(100 + n²)

5 6 7 a b c d e f g h 8 9 11 a b c d e f 12 a b 13 15 a b с d e f

---