Листок 7. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И СРАВНЕНИЯ.

Выдан 27.10.84.

В листке: m, n - натуральные, p, q - простые, остальные - целые, если не оговорено особо.

1. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

10. Если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового ⋮ 9.

11. аx² + bx + c для любого k РАВНО ЦЕЛОМУ ⇔ 2а, а+b, с ∋ Z.

12. Сумма кубов трех последовательных чисел ⋮ 9.

13. 222³³³ + 333²²² ⋮ 13

14. ∀n ∃x : nx+1 - составное.

15. Найти все n: в 22n + 5 = m².

16. 9ⁿ+1 кончается не более 1 нулём.

17. n ≥ 2 ⇒ 2²ⁿ⁺¹ оканчивается на 7.

18. (2k+1)²≡1 (mod 8)

19.Найти две последние цифры 7⁹⁹⁹.

2.ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

20. 2р+1 ∈ Р, р >3 ⇒ 4р+1 ∉ Р.

21. Сколько разных n: n<p³ .AND. НОД(p³,n)=1 ?

22. 8*р² + 1 ∈ Р ⇔ p=3

23. 2ⁿ+1 ∈ Р ⇒ n - степень 2.

24. "Малая теорема Ферма". Доказать, что для любых m, p: m^p-m⋮p

25. Доказать, что любое простое число не может быть представлено в виде суммы нескольких последовательных нечетных.

26. p = m² - n² : p=?

27. ВСЕГДА НОД(21n+4,14n+3)=1

28. НОД(m,n)=1. Доказать, что mx+ny=mn не имеет решения в натур.

29. НОД(a³+2a,a⁴+3a²+1)=1 ВСЕГДА

3. УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

30. x*y = x + y

31. 60x -77y =1

32. 6x² + 7y² = 74

33. 2ху+3у² = 24

34. x² + xy + y² = (xy)²

35. m² -nm + 2m -3n = 11

36. (m+n) = (m - n)²

37^* x^y + 1 = z (x,y,z - простые)

38. 2x² - 5y² = 7 не имеет решений.

ТЕОРЕМЫ О СРАВНЕНИЯХ

Если два числа а, b при делении на m дают один и тот же остаток r: 0≤r<m то числа a, b называются сравнимыми по модулю m: a≡b(mod m)

40. a≡b(mod m) ⇒ a=b+mt .AND. a-b ⋮ m

41? Обратная 40.

42?Сравнения по одному модулю можно почленно складывать:
a₁≡b₁(mod m), a₂≡b₂(mod m),..., a_N≡b_N(mod m)⇒ a₁ + a₂ + ... + a_N ≡ b₁ + b₂ + ... + b_N (mod m)

43?Сравнения по одному модулю можно почленно перемножать:
a₁≡b₁(mod m), a₂≡b₂(mod m),..., a_N≡b_N(mod m)⇒ a₁ * a₂ * ... * a_N ≡ b₁ * b₂ * ... * b_N (mod m)

44. Обе части сранения можно разделить на их общий делитель, если этот делитель и модуль - взаимно простые числа.

45.Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число.

46. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.

47. ЕСЛИ сравнение a≡b имеет место по нескольким модуляи, то оно имеет место по модулю, равному НОК этих модулей.

48. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место по любому делителю числа m.

49. Если одна часть сравнения и модуль ⋮z ⇒ другая часть ⋮z.

5. ЗАДАЧИ НА СРАВНЕНИЯ

50.Найти остаток от деления 5²⁰ на 24

51. 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ⋮ 181

52. (3299⁵+6)¹⁸ ⋮ 112

53. 19¹⁹ + 69⁶⁹ ⋮ 44

54. 2⁶⁰ + 7³⁰ ⋮ 13

55. p² - q² ⋮ 24 (p,q > 3)

56. .NOT.((a²+3a+5)⋮ 121)

57. x+y ⋮ 7 ⇒ x⁷ + y⁷ ⋮ 49

58. n≡1(mod 3) .AND. n≡33(mod 37) .AND. n≡m (mod 111) Найти m.