ЗАДАЧА 1. ПРИНЦИП АРХИМЕДА,
A) ∀Х>0 И ∀Y>0 ∃N: (N-l)*X≤Y<N*X
B) ∀Х>0 И ∀Y>0 ∃N: XN-1≤X<XN
C) INF{Y/I|Y>0;I∈N}=0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. А) НАЗОВЕМ Х∈R - ТОЧКОЙ, R - ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ (ИЛИ ПРОСТО ПРЯМОЙ).
(НА ЭТОМ ПУТИ МОЖНО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СФОРМУЛИРОВАТЬ И ДОКАЗАТЬ АКСИОМЫ И ТЕОРЕМЫ
МОНОМЕТРИИ (ГЕОМЕТРИИ ПРЯМОЙ),ЗАТЕМ ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ).
B) ОТРЕЗОК [X,Y] ⇐def⇒ {Z| X≤Z≤Y}
C) ИНТЕРВАЛ (X,Y) ⇐def⇒ {Z| X<Z<Y}
ПРИ ЭТОМ ЧИСЛО (Y-X) НАЗЫВАЕТСЯ ДЛИНОЙ ОТРЕЗКА (ИНТЕРВАЛА).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МНОЖЕСТВО ОТРЕЗКОВ (ИНТЕРВАЛОВ) [XI,YI] НАЗЫВАЕТСЯ СИСТЕМОЙ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ (ИНТЕРВАЛОВ) ⇐def⇒ I∈N: [XI,YI]⊂[XI-1,YI-1]
ЗАДАЧА 2. А) СИСТЕМА ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ ИМЕЕТ ОБЩИЙ ЭЛЕМЕНТ.
В) СИСТЕМА ВЛ0ЖЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ МОЖЕТ НЕ ИМЕТЬ ОБЩЕГО ЭЛЕМЕНТА.
ЗАДАЧА 3. А) ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ СОСТОИТ ИЗ ОДНОЙ ЕДИНСТВЕННОЙ ТОЧКИ ⇔ ДЛЯ ∀Е>0 ∃I: YI-XI<E.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. А) КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НАЗЫВАЕТСЯ
ФУНКЦИЯ F: J→R
B) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НАЗЫВАЕТСЯ ФУНКЦИЯ F: N→R.
C) "ПОЧТИ BCE"⇐def⇒"BCE, КРОМЕ КОНЕЧНОГО ПОДМНОЖЕСТВА"
D) "СТАЦИОНАРНАЯ ПОСЛЕДО8АТЕЛЬНОСТЬ"⇐def⇒"ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ПОЧТИ
ВСЕ ЧЛЕНЫ КОТОРОЙ РАВНЫ ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ЧИСЛУ".
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 2=1+1; 3=2+1; 4=3+1; 5=4+1; 6=5+1;
7=6+1; 8=7+1; 9=8+1; 10=9+1.
T = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - МНОЖЕСТВО ЦИФР. ЗАДАДИМ СООТВЕТСТВИЕ
ФI: Тi → N:
ФI((Аi,Аi-1,...,А1)) =
АN*10i-1 + АN-1*10i-2 + ... + А1
В ДАЛЬНЕЙШЕМ (Аi,Аi-1,...,А1) БУДЕМ ЗАПИСЫВАТЬ КАК
АiАi-1Аi-2...А1 И НАЗЫВАТЬ
ДЕСЯТИЧНОЙ ЗАПИСЬЮ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.
ЗАДАЧА 4, А) ПУСТЬ Ф - ОБЪЕДИНЕНИЕ ВСЕХ ФI И Ф0 ⇒
ф - ОТОБРАЖЕНИЕ ...?
B) ЗАДАЙТЕ ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ДЕС. ЗАПИСЕЙ НАТУРАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ И ДОКАЖИТЕ, ЧТО Ф СОХРАНЯЕТ СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ.
C) ЕСЛИ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТО ПЕРВЫЙ ЧЛЕН
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АI НЕ ЦИФРА 0, ТО Ф - ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНО.
УПРАЖНЕНИЕ 5. СФОРМУЛИРУЙТЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ЗАПИСИ ЦЕЛОГО ЧИСЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЗАДАДИМ СООТВЕТСТВИЕ МНОЖЕСТВА W: Z⊗Z⊗(N\{9,99,999,...}∪{0})→Q W(k,n,a) = 10k*(n + a/10L(a)) где L(a) - НАИМЕНЬШАЯ СТЕПЕНЬ 10, ПРЕВОСХОДЯЩАЯ a (L(0)=0)
УПРАЖНЕНИЕ 6. СФОРМУЛИРУЙТЕ СПОСОБ ПОЛУЧЕНИ ДЕС. ЗАПИСИ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА ИЗ (k,n,a)
ЗАДАЧА 6. A) W - ГОМОМОРФИЗМ.
в) ЗАДАЙТЕ ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ДЕС. ЗАПИСИ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ, И ДОКАЖИТЕ, ЧТО W - ГОМОМОРФИЗМ И ПО СЛОЖЕНИЮ И ПО УМНОЖЕНИЮ,
c) если дополнительно потребовать:
(|n|≡a (mod 10)) ⇒ L(|n|)=k)
то W - изоморфизм
Определение. Зададим соответсвие V:
Z⊗{последовательность цифр, не равные станционано 9} в множество R:
V((±b,А1, А2, А3,...,АN,...)) =
±sup{b+А1*10-1+А2*10-2+...+АN*10-n},
где N принимает все натуральные значения. Элемент этого множества
Z⊗{последовательность} называется десятичной записью действительного числа.
Задача 7. a) V - взаимооднозначное отображение.
b)** Задайте естественные операции сложения и умножения десятичных записей действительных
чисел и докажите, что V - изоморфизм и ро сложению и по умножению.
в ы в о д. всякому действительному числу из отрезка [0, 1] СООТВЕТСТВУЕТ ЕДИНСТВЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 0,А1А2...АN...
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МОЩНОСТЬЮ КОНТИНУУМА НАЗЫВАЕТСЯ МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА А01 - БЕСКОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 0 И 1.
ЗАДАЧА 8. ТЕОРЕМА КАНТОРА (БЕЗ ДОК-ВА), МНОЖЕСТВО ВСЕХ ПОДМНОЖЕСТВ МНОЖЕСТВА X БОЛЕЕ МОЩНО, ЧЕМ X. МНОЖЕСТВО ВСЕХ ПОДМНОЖЕСТВ МНОЖЕСТВА X ОБОЗНАЧАЕТСЯ П(Х)
Задача 9. a) П(N) континуально
в) А01⊗А01 континуально
c) R континуально
d) [0,1] континуально
e) множество точек квадрата континуально
f) множество всех отрезков прямой континуально
g) подмножество R, в десятичной записи которого отсутствует цифра 7 континуально
задача 10. можно ли построить на плоскости континуум непересекающихся: а) окружностей b) кругов с) восьмерок d) букв T
задача 11. множество всех функций имеет мощность более, чем континуум. (она называется гиперконтинуум.)
аксиома (континуум-гипотеза): не существует множества, промежуточного по мощности между счетным и континуумом.
добавим к R еще два элемента: R∞ =
R ∪ {-∞, +∞}
зададим правила обращения с этими элементами:
А) ∀x∈R: x+∞ = +∞; x-∞ = -∞
x/+∞ = x/-∞ = 0
В) ∀x>0: x*(+∞)=+∞; x*(-∞)=-∞
С) ∀x<0: x*(+∞)=-∞; x*(-∞)=+∞
D) УМНОЖЕНИЕ И СЛОЖЕНИЕ КОММУТАТИВНО.
ПРИМЕЧАНИЕ: ВЫРАЖЕНИЯ ВИДА А+В, А-В, А*В, А/В, ГДЕ A=±∞, B=±∞
НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ.
УПРАЖНЕНИЕ 12. В R∞ СОХРАНЯЮТСЯ СВОЙСТВА УПОРЯДОЧЕННОСТИ
(СВ-ВА 12 - 15)
R∞ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ГРУППОЙ НИ ПО СЛОЖЕНИЮ* НИ по умножению.
УПРАЖНЕНИЕ 13. СФОРМУЛИРОВАТЬ АКСИОМУ О ВЕРХНЕЙ ГРАНИ И ПРИНЦИП ВЛОЖЕНИЯ ОТРЕЗКОВ В R∞.