Распределение электрического поля в осесимметричной поре.
Сокирко А.В.
При изучении транспорта ионов под действием электрического поля
через биологические и модельные мембраны обычно полагают, что
перенос осуществляется в основном через существующие в мембране
поры, поскольку сама мембрана является диэлектриком. При этом
электрические характеристики мембраны в основном определяются
числом пор, их размером и формой.
При анализе пористых структур, как правило, анализируют
только два первых фактора, предполагая форму пор заданной [ ].
Обычно рассматривают сравнительно узкие цилиндрические поры,
диаметр которых много меньше, чем их длина. В этом случае
возщможно считать электрическое поле однородным по объему поры и
пренебрегать ошибками, связанными с изменением электрического
поля вблизи торцов цилиндра [ ]. Другим частным случаем ,
который в пределе сводится к задаче о прохождении электрического
поля через круглую дыру в бесконечной непроводящей плоскости,
являются очень широкие, короткие поры[ ].
В работе [ ] были проанализированы поры несколько более
сложной формы. Считалось, что пора состоит из трех участков:
средний из них представляет обычную цилиндрическую пору, а два
других являются "переходными", внутри которых происходит линейное
изменение электрического поля от объемного значения до
постоянного значения внутри поры. Сопоставление этой достаточно
простой теоретической модели с экспериментальными данными
позволило оценить размер входных участков; для пор в БЛМ каждый
из них составляет от 15 до 33 % толщины мембраны. Кроме того,
1
электрическое сопротивление оказалось крайне чуствительно к форме
поры: изменение размера входного участка на 10% приводит к
изменению сопротивления более чем на порядок.
Таким образом, "фактор формы" играет определющую, а не
второстепенную роль, как полагалось ранее. Кроме того,
предположение о существовании относительно малых по размеру
входных участков не вполне корректно, поскольку они занимают до
2/3 толщины всей мембраны. Поэтому необходимо считать, что вся
внутреняя поверхность поры представляет собой единую
криволинейную поверхность, сужающуюся к середине толщины мембраны.
В настоящей работе найдено распределение электрического
потенциала, напряжености и энергии электрического поля для
семейства пор более сложной формы, чем цилиндрическая. Показано,
что узкая цилиндрическая пора и, наоборот, широкая пора являются
частными случаями пор такой формы.
Рассмотрим мембрану толщиной 2h, внутри которой имеется
осесимметричная пора (рис.1). В минимальном сечении (посередине)
пора представляет из себя круг радиусом r . Апроксимируем
0
внутренюю поверхность поры однополостным гиперболоидом вращения:
2 2
r z
---- - ---- = 1, (1)
2 2
r b
0
где r и z - цилиндрические координаты с началом в центре
минимального сечения, b - параметр, определяющий форму поры.
Наиболее логично кривизну
поверхности гиперболоида характеризует величина c - радиус
максимальной кривизны в окрестности минимального сечения
2
(см.рис.1). В этом случае b = r c.
0
2
Задачу о нахождении электрического поля в такой системе
наиболее удобно решать в сплюснутой эллипсоидальной системе
координат (s,t). Переход от цилиндрической к эллипсоидальной
системе координат осуществляется с помощью формул:
2 2
r z
2
--------- + ------- = h , (2)
2 2 2 2
a (1+s ) a s
2 2
r z
2
--------- - ------- = h , (3)
2 2 2 2
a (1-t ) a t
#______+
2
Здесь a = e r +r c /h - безразмерное фокальное расстояние, s
0 0
нумерует софокусные эллипсоиды (s>0), t - нумерует софокусные
гиперболоиды (-1<t<1). Внутренности поры соответсвует условие
|t|>t , где
0
-1/2
t = ( 1 + r /c) (4)
0 0
- координата внутренней поверхности поры в эллипсоидальной
системе координат. Координаты точек минимального сечения
определяются условиями s=0, t|>t , Координаты граничных
0
окружностей, в которых гиперболоид сопрягается с внешними
плоскими поверхностями мембраны, определяется в цилиндрической
системе координат условиями r=R, |z|=h, а в эллипсоидальной
системе координат - s=s , |t|=t , где
0 0
s = 1 / at (5)
0 0
Отметим, что условие s=s , |t|>t соответствует не плоскому
0 0
кругу, являющемуся продолжением поверхности мембраны, а эллипсо-
идальной "крышке", "надетой" на пору (см. рис.1).
Для нахождения распределения электрических токов в такой
системе необходимо решить уравнение Лапласа для потенциала Ф:
D Ф = 0 (6)
3
с граничными условиямим непрохождения тока через границу раствор-
-диэлектрик:
Ф |
---- | = 0, (7)
n | S
и условиями на бесконечности
2 2
Ф -~ Ф при z + r -~ 7, z > h
0
(8)
2 2
Ф -~ -Ф при z + r -~ 7, z < -h
0
Можно легко показать, что в силу симметричности системы Ф(z,r)=
=-Ф(-z,r) и последнее условие можно заменить на Ф=0 при z=0.
Таким образом достаточно рассмотреть только верхнюю область
пространства z>0.
Разобьем все верхнее полупространство на три области:
1) 0<s<s , t <t<1 - внутреняя часть поры;
0 0
2) Область пространства, расположенная выше плоскостью z=h и
полусферы
2 2 2
(z-h) + r = R ; (9)
3) Небольшая область между областями 1 и 2, ограниченная
эллипсоидальной границей s=s и сферической границей (9).
0
Ниже будет отдельно найдено распределение потенциала в
областях 1 и 2 и показано, что вкладом области 3, как правило,
можно пренебречь.
В первой области уравнение Лапласа (6) и граничные условия
(7),(8) можно записать в виде:
Ф Ф
2 2
---- [ (1+s ) ---- ] + ---- [ (1-t ) ---- ] = 0,
s s t t
Ф | (10)
| |
---- | = 0, Ф =0, Ф =Ф .
| | 1
t | t=t s=0 s=s
0 0
где Ф - падение потенциала внутри поры. Распределение по-
1
тенциала, удовлетворяющее (10), описывается простым соотношением:
4
arctg s
Ф = Ф ---------. (11)
1
arctg s
0
Во второй области (снаружи поры ) удобно ввести сферическую
систему координат (r,q), "приподнятую" на высоту z=h по отношению
к началу координат:
z = r cos q + h
(12)
r = r sin q
Тогда соотношения (6)-(8) переписываются в виде:
^ Ф * 1 ^ Ф *
2
---- | r ---- | + ------- ---- | sin q ----- | = 0,
r 7 r 8 sin q q 7 r 8
(13)
Ф |
---- | =0, Ф | = Ф , Ф | = Ф ,
r=r 1 r ~ 7 0
q | q=p/2 1
откуда легко находится распределение потенциала в этой области:
Ф = Ф + ( Ф - Ф ) R/r. (14)
0 1 0
Из (11) и (14) можно найти выражения для напряжености электричес-
кого поля E:
Ф 1 1
1
E = ----- --------------------- -------- в области 1,
#_______ #_______+
a h e 2 e 2 2 arctg s
s + 1 s + t 0
(15)
2
E = ( Ф - Ф ) R/r в области 2.
0 1
Константа Ф находится из условия отсутствия заряда внутри
1
области 3, что эквивалентно суммарному нулевому потоку через две
ее поверхности S и S :
1 2
ds E(s=s ) + ds E(r=R) = 0. (16)
0
S S
1 2
При записи выражения (16) было учтено, что соответствующие
поверхности r=R и s=s являются эквипотенциальными, т.е. вектор
0
напряженности всегда перпендикулярен поверхности в точке
интегрирования. Производя интегрирование (16) в криволинейных
координатах ~ ], находим выражение для Ф :
1
5
Ф
0
Ф = ----------------- (17)
1
a(1-t )
0
1 + ------------
R arctg s
0
Подставляя (17) в (11) и (15), находим окончательное
выражение для распределения потенциала и напряженности
электрического поля внутри поры .
Суммарный ток I через пору дается соотношением
I = 2pkr (Ф -Ф ) (18)
1 0 1
где k - удельная электропроводность раствора.
Выражения (15), (17), (18) в явном виде описывают
распределение электрического поля, тока и потенциала в
аксиальносимметричной поре. Эти выражения могут быть использованы
в различных разделах электрохимии пористых тел.
В качестве примера такого приложения рассмотрим эволюцию пор
в биологической мембране под действием электрического поля . Эта
эволюция происходит под действием двух факторов: поверхностного
натяжения на границе мембрана-раствор, стремящегося сократить
площадь мембраны, и давления электрического поля, стремящегося
расширить размеры поры. Поскольку вектор электрической индукции
внутри жидкости параллелен границе раздела фаз достаточно близко
от нее, энергия электрического поля вычисляется как интеграл по
всему пространству V:
1 2
W = - e?E? (19)
эл 2
V
где e - диэлектрическая проницаемость жидкости.
Можно показать, что в случае постоянного электрического поля
энергетический подход совпадает с более строгим, в котором работа
электрического поля вычисляется с помощью максвелловского тензора
6
напряжений. Вычисляя (19) с помощью (15), получаем:
2 2
W = 2pahe(Ф ) s (1-t )/arctg t + e(Ф -Ф ) r /2 (20)
el 1 0 0 0 0 1 1
Энергия поверхностного натяжения W пропорциональна с
s
коэффициентом a изменению площади поверхности мемебраны при
образовании мембраны:
---- ----- ----------
2# 2 # 2 2 2 # 2
W = a32p { a e1-t [ s es +t + t ln(s /t +e(s /t ) +1) ] } (21)
s 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Суммарная энергия системы W = W + W (22)
e s
В пространстве двух параметров t и a любая пора описывается
0
точкой. При этом параметр t ?? 1 соответствует цилиндрической
0
поре, а t ?? 0 соответствует случаю круглой дыры в тонкой
0
плоскости; a ?? 0 соответствует "узкой" поре, а a ?? 7 -
обратному случаю "широкой" поре.
Пусть в некоторый момент возникла пора, характеризующаяся
параметрами a и t . После этого она начинает двигаться по
0
направлению градиента потенциальной энергии W. Таким образом,
возможно описывать также и динамику изменения поры, поскольку
скорость изменений в каждом состоянии пропорциональна градиенту
величины W. Форма поверхности W(s,t) определяется единственным
#_____+
безразмерным параметром e en/a Ф , который для конкретной
0
мембраны можно рассматривать как безразмерный потенциал.
Предположим, что первоначально возникшая пора была
сравнительно узкой ( a << 1) и по форме близкой к цилиндрической
(t 1). Как показывает анализ выражения (22), возможны четыре
0
качественно различных варианта эволюции поры (рис.2).
а) "закрывающаяся" пора.
Под действием сил упругости пора сравнительно быстро становится
7
идеально цилиндричекой (t =1), после чего сравнительно медленно
0
начинает уменьшаться ее радиус, до тех пор, пока в результате
флуктуации пора не "закроется".
б) "уменьшающася" пора аналогична "закрывающейся", но ее
радиус уменьшается не до нуля, а до некоторого конечного
значения. В таком стабильном состоянии поры могут пребывать не-
ограниченно долго.
в) "раскрывающаяся" пора.
Радиус поры неограниченно возрастает ( a ?? 7 ), одновременно с
этим цилиндрическая форма поры быстро искажается (t ?? 0).
0
г) "невидимая" пора.
Одновременно с уменьшением радиуса увеличивается крутизна сечения
поры. В конце процесса эволюции пора оказывается в стабильном
состоянии, характеризующимся конечным значением t и бесконечно
0
малым значением радиуса a. Очевидно, что при этом ток,
протекающий через пору, будет сравнительно мал, однако
пренебрегать электрическими силами нельзя, поскольку наиболее
узкий участок поры имеет также небольшую протяженность, поэтому
напряженность и давление электрического поля могут быть
значительными.
Приведенная выше классификация является сравнительно общей и
не описывает эволюцию поры на начальном этапе. Так, в случае
"закрывающейся" поры в начальный период одновременно с
возрастанием t может незначительно увеличиваться параметр a. При
0
сравнительно малых значениях безразмерного потенциала в
зависимости от начальных значений a и t могут реализовываться
0
варианты а) или в), а при промежуточных значениях потенциала -
8
варианты б) или в), а при сравнительно больших - в) или г).
Однако возможно, что некоторой области значений потенциаламогут
одновременно реализовываться все три варианта б)-г).
Необходимо обратить внимание на то, что все вышеприведенные
рассуждения строго справедливы только в предположении постоянного
по времени внешнего потенциала. Однако можно считать, что и в
случае ступенчато изменяющегося во времени потенциала формулы
(20)-(22) справедливы. Например, пусть при некотром значении
потенциала в результате эволюции получена "невидимая" пора с
определенными a и t.. После изменения значения потенциала
0
состояние этой поры перестанет быть устойчивым и эволюция
продолжится. Очевидно, что в зависимости от величины Ф возможно
0
окончание эволюции по одному из трех указанных выше путей.
Важно подчеркнуть, что при любом варианте эволюции поры с
правдоподобно выбранными начальными размерами никогда не попадают
в область параметров a >> 1, t 1, соответствующей широкой поре
0
цилиндрической формы. Для таких пор нельзя было бы пренебречь
падением потенциала в области 3 (рис.1), что предполагалось во
всех проведенных выше вычислениях.
В заключение следует отметить, что из формулы (15) для
напряженности электрического поля для цилиндрических пор малого
радиуса можно получить, что внутри поры (область 1) поле
однородно, а вне ее (область 3) - сферически симметрично. Для
другого предельного случая, когда радиус поры много больше
толщины мембраны, а кромка поры скруглена, области 2 и 3
отодвигаются на бесконечность, выражение (15) также является
точным.
9
Таким образом, предложеная модель осесимметричной поры
точно переходит в ранее известные модели и поэтому может являться
основой для описания сложных пористых структур.
Автор благодарит за полезные обсуждения В.Ф.Пастушенко, П. .
Кузьмина и .
10
Литература.
1. Пастушенко В.Ф. Биофизика.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.:
Наука. 1982. 621 с.
3. Glaser R.W., Leikin S.L., Chernomordik L.V., Pastushenko V.F.,
Sokirko V.F.// Biochimica et Biohysica Acta (1988) 275-287.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 2-е изд. М.: Наука,
1970. 720 с.
5. Пастушенко В.Ф............
11
Подписи к рисункам статьи Сокирко
Рис.1. Осевое сечение поры. Пояснения в тексте.
Рис.2. Возможные варианты эволюции пор, изображенные на плоскости
(a,t ), A - начальное положение. Зашрихована область, в
0
которой решение не применимо.
