1. Последовательность аn = (1 + 1/n)n возрастает, а bn = (1 + 1/n)n+1 - убывает. (Указание: рассмотреть аn+1/аn и bn/bn-1 и воспользоваться неравенством Бернулли.)
2. {аn} и {bn} сходятся, причём lim ann→∞ = lim bnn→∞. Назовём этот придел числом e.
3. Пусть cn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Докажите, что - {cn} сходится. Обозначим lim cnn→∞ = э.
4. э = e
5. Докажите, что e - cn ≤ 1/(n*n!). Вычислите первые 6 знаков числа e
6. Найти пределы последовательностей:
а) (1 + 1/(n+10))n
б) (1 - 1/n)n
в) (1 + 1/n2)n
г)(1 + 1/(3*n))n
7. Для ∀x>0 x∈R и ∀n∈N ∃!y>0;
y∈R: yn = x
Указание: Рассмотрите числа вида
y ± (x - yn)/((1+y)n- yn)
. Число будем называть арифметическим корнем из x.
Обозначение: y =
n√x. =
x1/n
8. (x1/n)m = (x1/(k*n))(k*m) для любых x∈R; k,n,m∈Z. Поэтому правомерна запись (x1/n)m = xm/n
9. а= x1/n*y1/n = (x*y)1/n для x,y>0 и
n∈N
б) x>1, p>q p,q∈Q ⇒ xp > xq
Определим теперь xy для x,y∈R и x>1 (для
1<x<1 определение аналогично):
xy =def= sup
xp{p≤y|p∈Q}; 1y =def= 1
10. Основные свойства степенной функции:
а) x>1; y<z ⇒ xy < xz - монотонность
б) 1<x<z; y<0 ⇒ xy < zy
в) xy+z = xy*xz
г) (xy)z = xy*z
д) f(x) = xα - непрерывная функция.
11. α∈R\{0} а) исследуйте {(1 + α/n)n} на монотонность
б) lim (1 + α/n)nn→∞ = eα
в) (1 + α) < eα
г) lim xα*e-xn→∞ = 0
12. e - иррационально. Указание: n!*e ∉ Z
13**. Формула Стирлинга
аn = √(2*π*n)*(n/e)n:
аn < n! < аn*e1/(12*n)
Эта формула используется очень широко в науке.
14. Какова приблизительно вероятность того, что в классе из 30 человек найдутся хотя бы двое, у кого совпадают днм рождения? При каком количестве человек эта вероятность больше 1/2?