Листок 29. Пределы

1) Пусть сущ. lim x_nn→∞, lim y_nn→∞:

a) x_n = y_n ⇒ lim x_nn→∞ = lim y_nn→∞:

b) x_n ≥ y_n ⇒ lim x_nn→∞ ≥ lim y_nn→∞:

c) верно ли, что x_n > y_n ⇒ lim x_nn→∞ > lim y_nn→∞:

2) lim x_nn→∞ = a, lim y_nn→∞ = b,

a) ∃ lim {x_n ± y_n) n→∞ = a ± b

b) ∃ lim {x_n * y_n) n→∞ = a * b

c) ∃ lim {x_n / y_n) n→∞ = a/b, b≠0

d) Обобщите теоремы для {a,b}∈R^∞

3) Найти пределы для n→∞:
a) {x_n} = (a*n² + b*n + c)/(a*n² + e*n + f)
b) {x_n} = √(n² + 1) - √(n² - 1)
c) {x_n} = sgn(n² - 5*n -7)
d) {x_n} = (2ⁿ + 3ⁿ⁺¹ + 5^n-1)/(3ⁿ + 5ⁿ⁺¹)
e) {x_n} = n *(√(n² + 1) - n)

4. lim x_nn→∞ = lim z_nn→∞ = a

∃k∈N такое, что для ∀ n>k x_n≤y_n≤z_n ⇒ lim y_nn→∞ = a (принцип милиционеров)

b) Лювая ограниченная монотонная последовательность имеет предел

5. Найти пределы при n→∞
a) x_n: ∀n: n/(3n+5) < x_n < (n⁴ + 15)/(3*n⁴ + 7)
b) x_n = 1/(n²+1) + 1/(n²+2) + ... + 1/(n²+n)
c) x_n = √(n² + 1) - ∛(n³ + 1)
d) x_n+1 = √(3*x_n); x₁=a
e) x_n = cⁿ
f) x_n+1 = (x_n + 1)/n²; x₁=a

6) x_n - ограничена, lim y_nn→∞ = 0 ⇒ ∃ lim (x_n*y_n)n→∞ = 0

7) Найти пределы при n→∞
a) x_n = {π;n}/n b) x_n = [π;n]/n
c) x_n = (cos n² + 2* log n)/(4 * log n)²

8) a) Пусть ∀n x_n>0 и lim {x_n+1/x_n)n→∞=a, a<1, тогда ∃ lim x_nn→∞ = 0

b) что будет если a>1?
c) а=1?

9) Найти пределы:
а) x_n = (n^a)/(aⁿ), a>1?
b) x_n = (2n)!/a^n!
c) x_n = (4*7*10*...*(3*n+1))/(2*6*10*...*(4*n+2))

10) Найти сумму геометрической прогрессии: x₁ = b, x_n+1 = x_n + b*qⁿ, lim x_nn→∞ = ? Расмотреть разные q.

11) Найти lim s_n = n→∞

a) s_n = k=1 n∑ 1/(2k)

b) s_n = k=1 n∑ (2^k+1)/(2^2k)

c) s_n = k=1 n∑ (-1)^k/3^k

d) s_n = k=1 n∑ ((1 + 3 + 9 + ... 3^k)/5^k+2

e) w=0,a₁a₂a₃...a_k(b₁b₂...b_m) - периодическая дробь; a = a₁*10^k-1 + a₂*10^k-2 + a_k; b = b₁*10^m-1 + b₂*10^m-2 + b_m; Выразить w через a и b

12) f - возрастающая функция, x_n = f(x_n-1), n>1
a) Докажите, что если x₁≤x₂, то x_n - возрастает, x₁≥x₂, то убывает.
b) Если f - ограничена, то ∃ lim x_nn→∞

13) Найти пределы при x₁=х
а) x_n = √(3 + x_n-1) (n>1, x≥-3)
b) x_n = - √(1 - x_n-1) (n>1, x≤1)
c) x_n = - x_n-1 - x_n-1² (n≥2, 0≤x≤1)
d) x_n = 0.5*(x_n-1 + a/x_n-1) (n>1, a>0; x>0)
e) x_n = 1/3*(2*x_n-1 + a/x_n-1²) (n>1, a>0; x>0)
f) x_n = x_n-1² + 3*x_n-1 +1 (n>1)

14) f - убывающая функция. x_n = f(x_n-1), n>1
а) x_2n-1 и x_n - монотонны, одна убывает, другая возрастает.

15) Найти пределы:
а) x_n = cos(x_n-1), x₁=1
b) x_n = (1-x_n-1)², x₁=0.5
c) x_n = 1/(x_n-1+1), x₁=1
d) x_n = (x_n-1+a)/(x_n-1+1), x₁≥0, a>0