Отрезок [a,b] - ловушка для последовательности {xn} -def- если
почти все xn лежат в [a,b].
Отрезок [a,b] - кормушка для последовательности {xn} -def- если
бесконечно много xn лежат в [a,b].
Задача 1. [a,b] - ловушка ⇒ он кормушка. Верно ли обратное?
Упражнение 2. Могут ли [0,1] и [2,3] являться одновременно для {xn} а) кормушками b) ловушками?
Задача 3. а) Существуют ли последовательность, не имеющая ни
одной кормушки?
b) Существуют ли последовательность, для которой
любой отрезок является кормушкой?
Упражнение 4. [0,1];[9,10] - кормушки для {xn}. Существуют ли для этой последовательности а) ловушка длины 1 b) ловушка длины 9?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для ∀ε>0 ∃k∈N такое, что для ∀ n>k |xn-а|<ε. Обозначение lim x = a n→∞ или xn→a при n→∞.
Задача 5. xn→a при n→∞ ⇔ любой отрезок с центром в точке a является ловушкой для {xn}
Задача 6. а) xn→a при n→∞ ⇒ любой отрезок с центром в
в точке a - кормушка, а никакой отрезок, не содержащий а, не является кормушкой.
b) верно ли обратное?
Упражнение 7. Какие из следующих последовательностей имеют пределы:
а)1;-1/2;1/3;-1/4;1/5;...
b) 1;1+1/2; 1 + 1/2+1/4;...
с) 1; 2; 3; 4;...
d) -1; 1; -1; 1;...
е) 1; 1; 1; 1;...
f) 0.2; 0.22; 0.222; 0.2222;....
g) 0; 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; 1/4;...
f) 0; 3/2; -2/3 ; ....; (-1)n+1/n;....
Задача 8. Могут ли два различных числа быть пределом одной и той же последовательности?
Определение предельной точки.
Число а называется предельной точкой последовательности {xn}
если
∀ε>0 ∀k∈N ∃ n>k |xn-а|<ε.
Задача 9. а - предельная точка последовательности {xn} ⇔ любой отрезок с центром в а является кормушкой для {xn}.
Задача 10. а - предел {xn} ⇒ а - предельная точка {xn} AND у {xn} нет других предельный точек, кроме а.
Упражнение 11. Для каждой из следующих последовательностей
укажите все ее предельные точки:
a) xn = (n+1)/n b) xn = (-1)n
c) xn = sin n
d) xn = n(-1)n е) xn = n
f) 1/2; 1/3; 2/3; 1/4; 2/4; 3/4; 1/5; 2/5; 3/5; ...
Задача 12.а) Докажите, что всякая ограниченая последовательность имеет хотя
бы одну предельную точку.
b) справедливо ли а) в случае не действительных, а рациональных
последовательностей?
Задача 13. дайте определение последовательности, стремящейся к ∞.
Упражнение 15. Какие из следующих последовательностей ограничены, не
ограничены, стремятся к ∞:
a) n = n b) xn = n*(-1)n
с) xn = (-1)(-1)n
d) xn = { n при четном n и √n при нечетном n }
e) xn = 100*n/(100 + n2)
1 2 a b 3 a b 4 a b 5 6 a b 7 a b c d e f g h 8 9 10 11 a b c12 a b 13 15 a b с d e f
Интервал (а-ε;а+ε), где ε>0 назыывается ε-окресностью точки а и обозначается Oε(а)
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для ∀ε>0 ∃k∈N такое, что для ∀ n>k |xn-а|<ε. Обозначение lim x = a n→∞ или xn→a при n→∞.
Задача 5. xn→a при n→∞. ⇔ любая ε-окресность а содержит почти все члены этой последовательности.
Упражнение 6. Что означает, что число а не является пределом последовательности {xn}?
Упражнение 7. Какие из следующих последовательностей имеют пределы:
а)1;-1/2;1/3;-1/4;1/5;...
b) 1;1+1/2; 1 + 1/2+1/4;...
с) 1; 2; 3; 4;...
d) -1; 1; -1; 1;...
е) 1; 1; 1; 1;...
f) 0.2; 0.22; 0.222; 0.2222;....
g) 0; 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; 1/4;...
f) 0; 3/2; -2/3 ; ....; (-1)n+1;....
Задача 8. Могут ли два различный числа быть пределом одной и той же последовательности?
Определение предельной точки.
Число а называется предельной точкой последовательности {xn}
если
∀ε>0 ∀k∈N ∃ n>k |xn-а|<ε.
Упражнение 9, Докажите, что любая ε-окресность предельной точки содержит бесконечно много членов последовательности.
Упражнение 11. Для каждой из следующих последовательностей
укажите все ее предельные точки:
a) xn = (n+l)/n b) xn = (-1)n
c) xn = sin n
d) xn = n(-1)n е) xn = n
f) 1/2; 1/3; 2/3; 1/4; 2/4; 3/4; 1/5; 2/5; 3/5; ...
Задача 12.а) Докажите, что всякая ограниченая последовательность имеет хотя
бы одну предельную точку.
b) справедливо ли а) в случае не действительных, а рациональных
последовательностей?
Задача 13. дайте определение последовательности, стремящейся к ∞.
Упражнение 15. Какие из следующих последовательностей ограничены, не
ограничены, стремятся к ∞:
a) n = n b) xn = n*(-1)n
с) xn = (-1)(-1)n
d) xn = { n при четном n и √n при нечетном n }
e) xn = 100*n/(100 + n2)
5 6 7 a b c d e f g h 8 9 11 a b c d e f 12 a b 13 15 a b с d e f