ЛИСТОК 24. ЧИСЛА.

ВЫДАН 23.10.85

В ЛИСТКЕ ПО УМОЛЧАНИЮ I,J∈N, N∈Z, X,Y,Z∈R.

ЗАДАЧА 1. ПРИНЦИП АРХИМЕДА,
A) ∀Х>0 И ∀Y>0 ∃N: (N-l)*X≤Y<N*X
B) ∀Х>0 И ∀Y>0 ∃N: X^N-1≤X<X^N
C) INF{Y/I|Y>0;I∈N}=0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. А) НАЗОВЕМ Х∈R - ТОЧКОЙ, R - ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ (ИЛИ ПРОСТО ПРЯМОЙ). (НА ЭТОМ ПУТИ МОЖНО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СФОРМУЛИРОВАТЬ И ДОКАЗАТЬ АКСИОМЫ И ТЕОРЕМЫ МОНОМЕТРИИ (ГЕОМЕТРИИ ПРЯМОЙ),ЗАТЕМ ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ).
B) ОТРЕЗОК [X,Y] ⇐def⇒ {Z| X≤Z≤Y}
C) ИНТЕРВАЛ (X,Y) ⇐def⇒ {Z| X<Z<Y} ПРИ ЭТОМ ЧИСЛО (Y-X) НАЗЫВАЕТСЯ ДЛИНОЙ ОТРЕЗКА (ИНТЕРВАЛА).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МНОЖЕСТВО ОТРЕЗКОВ (ИНТЕРВАЛОВ) [X_I,Y_I] НАЗЫВАЕТСЯ СИСТЕМОЙ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ (ИНТЕРВАЛОВ) ⇐def⇒ I∈N: [X_I,Y_I]⊂[X_I-1,Y_I-1]

ЗАДАЧА 2. А) СИСТЕМА ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ ИМЕЕТ ОБЩИЙ ЭЛЕМЕНТ.
В) СИСТЕМА ВЛ0ЖЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ МОЖЕТ НЕ ИМЕТЬ ОБЩЕГО ЭЛЕМЕНТА.

ЗАДАЧА 3. А) ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ СОСТОИТ ИЗ ОДНОЙ ЕДИНСТВЕННОЙ ТОЧКИ ⇔ ДЛЯ ∀Е>0 ∃I: Y_I-X_I<E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. А) КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НАЗЫВАЕТСЯ ФУНКЦИЯ F: J→R
B) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НАЗЫВАЕТСЯ ФУНКЦИЯ F: N→R.
C) "ПОЧТИ BCE"⇐def⇒"BCE, КРОМЕ КОНЕЧНОГО ПОДМНОЖЕСТВА"
D) "СТАЦИОНАРНАЯ ПОСЛЕДО8АТЕЛЬНОСТЬ"⇐def⇒"ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ПОЧТИ ВСЕ ЧЛЕНЫ КОТОРОЙ РАВНЫ ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ЧИСЛУ".

ПОЗИЦИОННАЯ ЗАПИСЬ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 2=1+1; 3=2+1; 4=3+1; 5=4+1; 6=5+1; 7=6+1; 8=7+1; 9=8+1; 10=9+1.
T = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - МНОЖЕСТВО ЦИФР. ЗАДАДИМ СООТВЕТСТВИЕ Ф_I: Тⁱ → N: Ф_I((А_i,А_i-1,...,А₁)) = А_N*10^i-1 + А_N-1*10^i-2 + ... + А₁
В ДАЛЬНЕЙШЕМ (А_i,А_i-1,...,А₁) БУДЕМ ЗАПИСЫВАТЬ КАК А_iА_i-1А_i-2...А₁ И НАЗЫВАТЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ЗАПИСЬЮ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.

ЗАДАЧА 4, А) ПУСТЬ Ф - ОБЪЕДИНЕНИЕ ВСЕХ Ф_I И Ф₀ ⇒ ф - ОТОБРАЖЕНИЕ ...?
B) ЗАДАЙТЕ ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ДЕС. ЗАПИСЕЙ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ДОКАЖИТЕ, ЧТО Ф СОХРАНЯЕТ СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ.
C) ЕСЛИ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТО ПЕРВЫЙ ЧЛЕН ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ А_I НЕ ЦИФРА 0, ТО Ф - ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНО.

УПРАЖНЕНИЕ 5. СФОРМУЛИРУЙТЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ЗАПИСИ ЦЕЛОГО ЧИСЛА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЗАДАДИМ СООТВЕТСТВИЕ МНОЖЕСТВА W: Z⊗Z⊗(N\{9,99,999,...}∪{0})→Q W(k,n,a) = 10^k*(n + a/10^L(a)) где L(a) - НАИМЕНЬШАЯ СТЕПЕНЬ 10, ПРЕВОСХОДЯЩАЯ a (L(0)=0)

УПРАЖНЕНИЕ 6. СФОРМУЛИРУЙТЕ СПОСОБ ПОЛУЧЕНИ ДЕС. ЗАПИСИ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА ИЗ (k,n,a)

ЗАДАЧА 6. A) W - ГОМОМОРФИЗМ.
в) ЗАДАЙТЕ ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ДЕС. ЗАПИСИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, И ДОКАЖИТЕ, ЧТО W - ГОМОМОРФИЗМ И ПО СЛОЖЕНИЮ И ПО УМНОЖЕНИЮ,
c) если дополнительно потребовать: (|n|≡a (mod 10)) ⇒ L(|n|)=k) то W - изоморфизм

Определение. Зададим соответсвие V: Z⊗{последовательность цифр, не равные станционано 9} в множество R:
V((±b,А₁, А₂, А₃,...,А_N,...)) = ±sup{b+А₁*10^-1+А₂*10^-2+...+А_N*10^-n}, где N принимает все натуральные значения. Элемент этого множества Z⊗{последовательность} называется десятичной записью действительного числа.

Задача 7. a) V - взаимооднозначное отображение.
b)** Задайте естественные операции сложения и умножения десятичных записей действительных чисел и докажите, что V - изоморфизм и ро сложению и по умножению.

в ы в о д. всякому действительному числу из отрезка [0, 1] СООТВЕТСТВУЕТ ЕДИНСТВЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 0,А₁А₂...А_N...

КОНТИНУУМ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. МОЩНОСТЬЮ КОНТИНУУМА НАЗЫВАЕТСЯ МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА А⁰¹ - БЕСКОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 0 И 1.

ЗАДАЧА 8. ТЕОРЕМА КАНТОРА (БЕЗ ДОК-ВА), МНОЖЕСТВО ВСЕХ ПОДМНОЖЕСТВ МНОЖЕСТВА X БОЛЕЕ МОЩНО, ЧЕМ X. МНОЖЕСТВО ВСЕХ ПОДМНОЖЕСТВ МНОЖЕСТВА X ОБОЗНАЧАЕТСЯ П(Х)

Задача 9. a) П(N) континуально
в) А⁰¹⊗А⁰¹ континуально
c) R континуально
d) [0,1] континуально
e) множество точек квадрата континуально
f) множество всех отрезков прямой континуально
g) подмножество R, в десятичной записи которого отсутствует цифра 7 континуально

задача 10. можно ли построить на плоскости континуум непересекающихся: а) окружностей b) кругов с) восьмерок d) букв T

задача 11. множество всех функций имеет мощность более, чем континуум. (она называется гиперконтинуум.)

аксиома (континуум-гипотеза): не существует множества, промежуточного по мощности между счетным и континуумом.

расширенная система вещественных чисел.

добавим к R еще два элемента: R^∞ = R ∪ {-∞, +∞}
зададим правила обращения с этими элементами:
А) ∀x∈R: x+∞ = +∞; x-∞ = -∞ x/+∞ = x/-∞ = 0
В) ∀x>0: x*(+∞)=+∞; x*(-∞)=-∞
С) ∀x<0: x*(+∞)=-∞; x*(-∞)=+∞
D) УМНОЖЕНИЕ И СЛОЖЕНИЕ КОММУТАТИВНО.
ПРИМЕЧАНИЕ: ВЫРАЖЕНИЯ ВИДА А+В, А-В, А*В, А/В, ГДЕ A=±∞, B=±∞ НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ.

УПРАЖНЕНИЕ 12. В R^∞ СОХРАНЯЮТСЯ СВОЙСТВА УПОРЯДОЧЕННОСТИ (СВ-ВА 12 - 15)
R^∞ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ГРУППОЙ НИ ПО СЛОЖЕНИЮ* НИ по умножению.

УПРАЖНЕНИЕ 13. СФОРМУЛИРОВАТЬ АКСИОМУ О ВЕРХНЕЙ ГРАНИ И ПРИНЦИП ВЛОЖЕНИЯ ОТРЕЗКОВ В R^∞.