a, b, с, d - произвольные натуральные числа
(A) 1 - натуральное число
(B) Для любого a ∃ единственное следующее за ним a+
(C) a+ ≠ 1
(D) a+=b+ ⇒ a=b
(E) "Принцип индукции" Любое подмножество натуральным чисел, которое содержит 1
и вместе с любым a еще и a+, содержит все натуральные числа.
(1) а + 1 = a+
(2) а + b+ = (а + b)+
Тогда доказываются:
(3) (a+b)+c=a+(b+c)
(4) a+b=b+a
(6) а*1=а
(7) а * b+ = a*b + a
Тогда доказываются:
(8) (a*b)*c=a*(b*c)
(9) a*b = b*a
(10) a*(b+c)=a*b+a*c
(11) a*b=a*c ⇒ b=c
а > b ⇐def⇒ b < a ⇐def⇒ a=b+c Тогда доказываются:
(12) Всегда справедливо только одно из высказываний a=b ; a<b ; a>b
(13) a<b AND b<c ⇒ a<c
(14) a<b ⇒ a+c< b+c
(15) a<b ⇒ a*c<b*c
ТЕОРЕМА (16) Каждое непустое множество натуральный чисел содержит наименьшее число, т.е. число, которое меньше всек остальных.
Задача 1. Докажите указанные вам св-ва натуральных чисел,опираясь на все предыдущие свойства.
Упражнение 2. а) 2*2=4 b) 2<5 с) 5≠7
Задача 2. Пусть на множестве N⊗N задана эквивалентность: (a,b)=(c,d) ⇐def⇒ a+d=b+c. Доказать, что этим задается разбиение на классы эквивалентности.
Определение. Множество этих классов называются целыми числами (Z), и мы будем их обозначать m, n, k
Задача 3. Целые числа образуют абелеву группу по сложению:
(1) бинарность
(2) существует нулевой элемент (а,а)
(3)(m+n)+k=m+(n+k)
(4) m+n = n+m
(5) ∀m ∃! ед. (-m): m + (-m) = нулевому элемент.
Задача 4. Целые числа образуют коммутативное кольцо с единицей, т.е. вместе
со свойствами (1)-(5) справедливы и
(6) m*n принадлежит Z
(7) существует единичный элемент
(8) (m*n)*k = m*(n*k)
(9) m*n = n*m
(10)m*(n+k) = m*n + m*k
(11)m*n=m*k ⇒ n=k
Задача 5. Для целых справедливы св-ва натуральный чисел (12)-(14). Обобщите и докажите (15) и на случай "с" < (а,а)
Определение. Число (a,a) назовем нулем 0. Числа, большие нуля - положительные целые числа, а меньше - отрицательные.
Задача 5. Положительные целые числа изоморфны натуральным и по сложению и по умножению.
В дальнейшем положительные числа (а,b) будем обозначать а-b, а отрицательные -(b-а)
Упражнение 7. а) 5-7=? b) m*m>0 с) (m-n)*(m+n)=?
Задача 8. Пусть на множестве Z⊗N задана эквивалентность:
(m,a)=(n,b) ⇐def⇒ m*b=n*a. Тогда:
a) это разбиение на классы эквивалентности
b) действует закон сокращениз дробей: (a*m, a*b)=(m, b)
Определение. Множество этик классов называется множеством рациональный чисел Q. Рациональные числа обозн. р, q, r.
Задача 9. Q образует абелеву группу по сложению.
Задача 10. Q образует поле, кроме задачи 9:
a) Q\(0,а) образует абелеву группу по умножению
b) p*(q+r) = p*q + p*r - дистрибутивность
Задача 11. Q - упорядоченное поле, т.е. справедлива задача 5 для рациональным чисел.
Задача 12. Подмножество {(m,1)} изоморфно множеству Z и по сложению и по умножению.
В дальнейшем рациональное число (m,a) будем обозначать m/a, а число m/1=m
Задача 13. p<q ⇒ ∃r: p<r AND r<q.
Упражнение 14. а) 22/7 < 28/8 b) 1/2 >91/179
х,у,z,u - множества рациональных чисел, "∈"=принадлежит ("элемент" ∈ "множеству")
Определение: х - сечение ⇐def⇒
1)∃р∈х AND сущ. r∉x
AND 2) (р∈х AND q<p )⇒ q∈х
AND 3) в х нет наибольшего элемента
Задача 15. (р∈х AND q∉x) ⇒ p<q
Опр. Рац. числа ∈х называют нижними числами сечения;
Рац. числа ∉х называют верхними числами сечения;
Задача 16. u={p| p<r (r фиксированно)} ⇒ u - сечение AND r - наименьшее из верхних чисел.
Определение. Такие сечения называются рациональными.Запись: u=r*
Зададим отношение порядка:
(a) (х<у) ⇐def⇒ (y>x) ⇐def⇒
(∃p: (р∈у AND p∉x)
(b) (x≤y) ⇐def⇒ (y≥x) ⇐def⇒ x<y OR x=y
(c) х - положительно ⇐def⇒ x >0*
Задача 17. Докажите для сечений а)св. 12 b) св. (13)
Задача 18. Сечения образуют абелеву группу по сложению:
а)бинарность b)ассоц. с) 0* d)обратный е)коммутативна
f) кроме того, выполняется (14) для сечений
Определение. Модуль |x| ⇐def⇒ (х, если x≥0*; -x, если х<0*
Зададим операцию умножения следующими соотношениями:
x*y = {p| р=r*s, r∈х, s∈y}, если х≥0*, у≥0*;
x*y = -(x*|y|), если х≥0*, у<0*;
x*y = -(|x|*y), если x<0*, у≥0*;
x*y = |x|*|y|, если х<0*, у<0*.
Задача 19. Сечения без 0* образуют абелеву группу по умнож.:
а)бинар. b) ассоц. с) 1* d) х' е) коммутативность
f)кроме того, выполняется для сечений (15) и его обобщение.
Определение. x-y =def= x + (-y); x/y =def= x*y'
Замечание. Из задач 16,17,18 следует, что сечения образуют упорядоченное поле. В дальнейшем сечения будем называть вещественными или действительнными числами, а множество действительных чисел обозначать R.
Задача 20. х < у ⇒ ∃r: x<r<y
Задача 21. Пусть A и B - разбиение R на два непустых класса AND ( x∈A AND y∈B ⇒ x<y). Тогда ∃ единст. z: ∀x∈A: x≤z AND ∀у∈В z≤у )
Упражнение 22. ∃! единственное x>0: x2=2
b) этот x∉Q
Определение. R\Q называется множеством иррациональных чисел.
Определение. Множество M ограничено сверху ⇐def⇒ ∃x:
∀y∈M: y<x. x называется верхней гранью
b) Множество M ограничено ⇐def⇒ ∃x:
∀y∈M: |y|<x
Определение. x - точная верхняя грань M ⇐def⇒
x - верхняя грань M AND x - наименьшая из верхних граней.
Она обозначается supM
Упражнение 23. Запишите в кванторах определения supM и infM (точной нижней грани)
Задача 24! Пусть E - непустое множество вещественных чисел, ограниченное сверху ⇒ ∃ supE
Упражнение 25. Найти supM и infM (если они существуют)
a) A = {xa | xa = 1 + 1/6a}
b) A = {z | z = x+y; -1≤x<1; -3≤y≤2}
c) A = {z | z = x*y; -1<x<10; -1≤y<2}
d) A = {xa | xa = (2a+1 + 3a)/3a}
e) A = {xa | xa = 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/a}