1a. Элемент бесконечного порядка - это, по определению, элемент, любая степень
(целая) которого не равна ему самому.
б) Поскольку в группе конечеое число элементов, то колличество различных элементов
в ряду a0, a1, a2, ... an... конечно.
Поэтому можно выбрать из него два одинаковых an = am
n ≠ m. Сократив на меньшую степень, получаем противоречие.
2. а и б) Порядок равен 4. Нужно это проверять непосредственным вычислением.
c) Порядок равен длине цикла. Доказательство по индукции.
d) В группе ромба все элементы: различные симметрии, поэтому они 2 степени. В
группе квадрата - тоже самое, но повороты на 90° вправо и влево имеют
порядок 4. В группе ромба 4 элемента, а в группе квадрата - 8.
3 a) Сократим на ak - получаем, что n - не наименьший.
б) По теореме о делении с остатком находим k, а потом доказываем.
4. Пусть |f|=c Тогда ck=ak*bk, а т.к. циклы a, b отвечают за разные части одной подстановки и независимы, то ak и bk должны быть независимы и равны e. После этого применяются определение НОК
5. Нужно проверять все аксиомы группы.
6. Доказывать туда и обратно!
7. Пусть порядок |am|=n. Тогда am*n=e. По предыдущей
задаче m*n делится на p. А это
бывает в одном из двух случаев:
а) m делится на p. Применяем ещё раз 6.
б) n делится на p. Тогда нам надо выбрать наименьшее n: n=p.
8. Простое обобщение 7.
9. Пусть n: (a*b)n = e = a*b*a*b*..*a*b = a*(b*a)n-1*b (b*a)n-1 = (b*a)-1 - домножим на b*a
10. Представить элемент как степени и воспользоваться предыдущим листком.
16! Найти систему из min образующих в группах симметрии:
а) поворот на 120 и симметрия относительности прямой через центр тяжести - 6
элементов.
б) поворот на 90 и симметрия относительно диагонали - 8 элементов
в) поворот на 360/n и симметрия относительно прямой, проходящей через любую
вершину и центр. Порядок группы 2*n
г) поворот на 120 относительно некоторой высоты, относительно другой высоты и
симметрия относительно некоторой плоскости - 24 элемента.
д) Поворот на 90 относительно прямой соединяющей центры двух противоположных граней,
поворот на 120 относительно диагонали и симметрия относительно некоторой плоскости
- 48 элементов.