Листок 13. Циклические группы.

Выдан 26.01.85 Закрытие 5.02.85

Феникс - священная птица египтян, прилетающая умирать каждые 500 лет из Аравии в Илинополь... Здесь его сжигают, из пепла он возрождается снова, сначала в форме гусеницы, которая на 3 день начинает превращаться в птицу и на 40 улетает домой в Аравию.
сл. Брокгауза и Ефрона. Где начало того конца, которым оканчивается начало?
К. Прутков

Опр.1. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Обозначение: |G|.

Опр. 2. Пусть а-произвольный элемент группы. min n∈N: aⁿ=e ⇒ n -def- порядок элемента a. Запись: |a| = n.

1. Определение элемента бесконечного порядка в кванторах?
б) Бывают ли элементы бесконечного порядка в конечн. группах?

2. Найти порядок указаных элементов известных групп: а)

1	2	3	4
3	1	4	2

b) (1 2 3 4)
с) (1 2 3 ... n)
d) Элементов групп симметрии ромба и квадрата.
Укажите порядок групп ↑↑↑

3. а) |a| = n ⇒ ∀k,l 0 < k < l < n a^k ≠ а^l
b) m ∈ N ⇒ ∃ k ∈ N: 0 ≤ k < n a^m = а^k

4. Пусть f = a*b - разложение подстановки в произведение независимых циклов. Доказать |f| = Н0К( |а|,|b|).

Опр 3. Если каждый элемент группы G есть степень элемента а ⇒ G называется циклической, |G| = n, а элемент a - ее образующим.

5. Доказать, что повороты, переводящие правильный n-угольник в себя, образует циклическую группу порядка n.

6. |a| = n a^m=e ⇔ m ⋮ n

7. |a| = p р∈Р ∀ m-целого ⇒ a^m=e .OR. |a^m| = p

8. Н0Д(m,n) = d; |a| = n ⇒ a^m = n/d

9. В любой группе |a*b| = |b*a|

10!? Любая циклическая группа - абелева.

11! |G|=р∈Р ⇒ G - циклическая

12. Привести 3 примера циклический групп, (конечным и бесконеч. ) Найти все им образующие.

Найти образующие в группе
а) PSM - по сложению ( см. 12 N10)
б) NSV - по умножению ( см. 12 N11)

Опр.4 G порождается системой образующих a₁, a₂,... a_n ⇐df⇒ ∀g из G представим в произведений степеней этик элементов. Например: g=a₂*a₁*a₂²*a₅^-5

14. |G_n| = n! (G_n -группа подстановок длины n)

15. (1 2), (1 3), ..., (1 n) порождает G_n.

16! Найти систему из min образующих в группах симметрии:
а) правильного треугольника
б) квадрата
в) правильного n-угольника
г) правильного тетраэдра
д) куба и октаэдра
е) икосаэдра и додекаэдра
Каковы порядки этих групп?

17. Q порождается a, b причем а⁴=е; a*a = b*b; a*b = b*a³. Какой порядок она имеет? Составьте ее таблицу умножения. (см лекцию)