В этом листочке все a, b, c, x, у,... принадлежат множеству G.
Опр. ГРУППЫ. Множество G называется группой , если
а) на нем задана бинарная операция
б) для любых a, b, c: a*(b*c) = (a*b)*c (ассоциативность)
в) в G имеется элемент е, называемый единичным, такой что для любого элемента a:
е*а = е (левая единица)
г) для любого элемента а сущ. а', такой что: а'*а=е
(левый обратный)
Опр.2 Абелевой или коммутативной группой называется группа, для любых элементов a, b: a*b = b*а
1. Являются ли группами и абелевыми группами:
а, б) Множество целых чисел относительно операции + или *;
в, г) Множество целых чисел без нуля относительно операции + или *;
д) Множество действительных чисел без нуля по умножению
е) множество всех перемещений плоскости
ж) множество подстановок
з) множество всех линейных функций f(x) = kx + b с k≠0 с операц. композиция
4. а) Доказать единственность единичного элемента т. е. если х≠е, то
существует b b*x≠b.
б) обратного элемента для каждого а.
тоже 4. Найти а) e'' 6) a''
в)Доказать: (ab)' = b'a'
(Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше...)
5.Для любых элементов а и b найдется ровно
один х такой что а*x = b
один x и один y, такие что ax = b и ya = b
(вспомните, что такое ровно один)
6. Упростите b'a'bb'aba b) найти у: ayba'= baab'a'
Опр 3.
m-натуральное: a1 =df= a; am+1 = a * am;
m = 0: a0 =df= e;
m - целое отрицательное am = (a-m)'
7. (am)' = (a')m
Докажите, что для всех натуральных m, n:
8. am * an = am+n; a0 = e
9. (am)n = am*n
10. Построить группу на основе PSV
mod 5 с операцией сложение
mod m с операцией сложение
0пр.4 Симметрией фигуры Ф называтся любое перемещение F: F(Ф)=Ф. Композиция двух симметрии фигуры Ф есть снова симметрия Ф, и множество всех симметрий образуют группу (проверьте). Если фигура Ф многоугольник, то, занумеровав его вершины, можно каждой его симметрии поставить в соответствие подстановку, где каждому номеру вершины ставится в соответствие номер образа.
11. Записать в подстановкак все симметрии
а) правильного треугольника
б) квадрата
Опр. 5 Группа всех симметрий правильного n-угольника называется группой ДИЭДРА и обозначается Hn
12. Показать,что композиция симметрии соответствует произведение подстановок.
1. G - группа из двух элементов: ее = е,еа=а, ае=а. Найти аа.
2. Для любого элемента а: ае=а (представить е=а'a а и воспользоваться ассоциативностью)
3. аа' = е ( расмотрите а''a'аа' )
4 → 2, 3
5 → 5
6. Существует b: ab=b ⇒ a=e
10. (a1 * a2 * ... * an)' = an' * ... * a2' * a1'
11. Построить группу на основе NSV mod m с операцией умножение
13. Пусть для любых a: a*a=e. Доказать G-абелева.