1. Решить в целых числах
a) 19*x2 + 28*y2 = 729
b) x*y/z + x*z/y + y*z/x = 3
c) a4 + 4*b4 = 2*c4 + 8*d4
d) 1 + x + x2 + x3 = 2y
e) 1! + 2! + ... + x! = y2
f) x + y + z = x*y*z в натуральных числах.
2. Доказать: НОК(1,2,3,...,2*m) = НОК(m+1,m+2,...,2*m)
3. Доказать: если a - число делителей натурального числа b, то произведение всех делителей равно квадратному корню из ba
4. В десятичной записи числа встречаются цифры 1, 3, 7, 9. Доказать, что можно переставить цифры так, что получится число, делящееся на 7.
4. Доказать, что если натуральные числа f, b, c удовлетворяют условию an + bn = cn (теорема Ферма), то a, b, c больше или равно m
5. Доказать, что если целые числа a, b удовлетворяют соотношению 2*a2 + a = 3*b2 + b, то (a - b) и (2*a + 2*b - 1) - квадраты целых чисел.
6. Найти все простые числа p, для которых 4*p2+1 и 6*p2 - 1 - тоже простые.
7. Решить в рациональных числах 1/x + x = целому числу.
8. Найти число различных счастливых билетов
9. Найти четыре числа, сумма каждой пары которых и сумма которых представляла собой точные квадраты.
10. а) Если бы четверть от двадцати равлялась четырём, то чему бы равнялась треть от десяти?
б) добавьте 3 к 182, что бы результат получился меньше 20
в) Какие три цифры при умножении на 5 дают 6?
г) Найдите дробь, у которой числитель был меньше знаменателя и это свойство
сохранялось бы при переворачивании дроби.
д) напишите 5 нечетных цифр, которые в сумме дают 14.
11. Можно ли найти числа a и b, что ab + ba = 1984 (пример 37 + 73 = 1844)
12. Съезд Объединенного общества странствующих попрошаек собрался, что бы
решить вопрос о том, следует ли объявлять забастовку, требуя сокращения рабочего
дня и увеличения податей. Было решено, что при голосовании те члены общества,
которые отдадут свои голоса в пользу забастовки, останутся стоять, а те, кто
против, сядут.
- Джентельмены, - сказал председатель собрания после подсчета голосов, - имею
удовольствие сообщить, что забастовка утверждена большинством, состовляющим
1/4 опозиции (громкие возгласы одобрения)
- Господин председатель, - крикнули сзади, - кое кто из нас не сиог сесть!
- Почему?
- Да здесь нет стульев
- Тогда, быть может те, кто хотел, но не смог сесть, не откажутся поднять руки...
Я вижу, вас 12 человек, так что забастовка отменяется большинством в один голос
(свистки и беспорядок в зале). Сколько членов Общества попрошаек участвовало в
голосовании?