ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КЛЕТОК ВО ВНЕШНЕМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
УДК 577.352.26
Сокирко А.В.
1. Введение
В ряде работ [1-8] теоретически исследовалось движение биоло-
гических клеток во внешнем переменном электрическом поле. Так, в
работе [1] была построена единая теория диэлектрофореза и
электровращения для сферически симметричных клеток с произвольной
структурой мембраны. Однако большинство биологических клеток и
везикул можно считать шарообразными лишь приблизительно.
Фактически они либо вытянуты в одном направлении, либо являются
сравнительно толстыми дисками. Расчет движения таких клеток по
формулам для шарообразных клеток может привести к заметным ошибкам
при неправильном выборе эффективных размеров. Кроме того, следует
учесть, что для движения клеток, не имеющих сферической симметрии
значительно сложнее находится распределение скоростей
гидродинамических потоков в окружающей их вязкой жидкости. Решению
этих задач и посвящена настоящая работа.
2. Постановка задачи о нахождении моментов электрических сил.
Для того, чтобы вычислить действующую на поверхность клетки
электрическую силу и описать движение клетки, прежде всего необходимо
решить во всем пространстве уравнение Лапласа для потенциала F:
D F = 0. (1)
Поскольку аналитическое решение уравнения (1) возможно только для
некоторых типов граничных условий, наложим определенные
ограничения на форму поверхности клетки, заменив реальную форму
клетки более простой так, чтобы границы раздела фаз совпадали с
координатными поверхностями в одной из ортогональных систем
координат. В нашей задаче удобно аппроксимировать поверхность
клетки эллипсоидом вращения и воспользоваться эллипсоидальными
координатами. Для вытянутых клеток внешнюю и внутренюю поверхности
клеточной мембраны образуют софокусные вытянутые эллипсоиды
вращения, а для дискообразных клеток - сплюснутые эллипсоиды
вращения. Как частный случай эллипсоиды вращения описывают также и
сферически симметричные клетки.
Ниже будет приведено подробное решение только для случая
вытянутых эллипсоидов. Задача для сплюснутых эллипсоидов решается
аналогично.
Будем характеризовать форму клетки соотношением двух линейных
2
размеров a/b - наибольшего и наименьшего и ее объемом V = 4/3pa b=
3
= 4/3 p r . Величина r соответствует радиусу шара того же объема.
0 0
Для вытянутого эллипсоида вращения a и b имеют смысл малой и
большой полуосей эллипса
2 2
r z
____ ____
+ = 1, (2)
2 2
a b
вращением которого вокруг оси OZ получен данный эллипсоид,
-------
!
| 2 2
r = ex + y . Вытянутость эллипсоида можно также характеризовать
эксцентриситетом
___________
# 2+
e = e 1 - (a/b) , (3)
который однозначно связан с отношением полуосей, а в качестве
линейного размера удобнее использовать c - половину расстояния
между фокусами эллипсоида:
r 3e
0
_________
c = . (4)
3/______+
2
r 1 - e
Преобразование к эллипсоидальным координатам производится в
2
соответствии с формулами [9]:
2 2 2 2 2
x = c ( s - 1 )( 1 - t ) cos v, (5)
2 2 2 2 2
y = c ( s - 1 )( 1 - t ) sin v, (6)
z = c s t. (7)
Здесь s > 1, 0 < t < 1. Координатная поверхность s=const предста-
вляют собой соффокусные эллипсоиды вращения; t = const -
софокусные гиперболоиды; 0 < v < 2p - угол в цилиндрической
системе координат r,v,z. Поскольку мембраны исследуемых клеток
могут иметь довольно сложную структуру, воспользуемся моделью
многослойной мембраны ~2]. В соответствии с этой моделью
считается, что области с неизменным значением физических
параметров расположены между софокусными эллипсоидами s=s :
j
s < s < .. < s
m m-1 1
Самой внутренней поверхности соответствует эллипсоид с координатой
s , а внешней - элипсоид с s = s , причем s 1/e.
m 1 1
При выводе выражения для остальных s необходимо учесть, что
j
расстояние между поверхностями двух софокусных эллипсоидов непос-
тоянно и, в отличие от сферической оболочки, меняется от точки к
0
точке. Если в качестве толщины слоев взять их значения h (1<j<m)
j
на "экваторе" ( при z=0 ), то в остальных точках она будет вычис-
0 ---------
# 2 2
ляться из соотношения h = h e 1 - e t и
j j
/___________________________+
2
/ /_______+ *
0 2
s = r 1 - 7 - h /c + r (s ) - 1 8 . (8)
j+1 j j
a
Если же в качестве эффективной толщины слоев взять их значения h
j
на "полюсах" ( при z=+a), то для нее имеется соотношение
--------- -----
# 2 2 # 2
h = h e 1 - e t /e 1-e , откуда
0
a
s = s - h /c. (9)
j+1 j j
3
Приближение переменной толщины оболочки вынужденно приводит к
тому, что также изменяется удельная мембранная емкость. Поскольку
в основном емкостной ток проходит через области клетки, близкие к
a
полюсам, то рациональнее называть толщиной слоя величину h и,
j
соответственно, пользоваться соотношением (9).
Для вычисления возникающих в задаче зависящих от времени
величин удобно применить комплексный формализм, т.е. записывать
временную зависимость любой переменной величины в виде
X = Re X, (10)
где X - комплексная величина, представленная в виде:
X = X exp ( iwt ).
0
2
Здесь w - круговая частота, t - время, i =-1, а комплексное число
X , в общем случае являющееся функцией координат, служит
0
амплитудой X [1]. Так, электрическое поле, вращающееся вокруг оси
y, можно записать в виде реальной части комплексного поля E :
EXT
~
E = ( k - ik ) E exp ( iwt ) (11)
EXT X Z 0
Здесь E - абсолютное значение амплитуды вращающегося поля, k и
0 X
k - орты осей. Поле, вращающееся вокруг оси z получается из (11)
Z
заменой z ~ y.
Как известно при поляризации эллипсоида внешним однородным
электрическим полем у эллипсоида возникает только дипольный момент
и отсутствуют мультиполи более высоких порядков [10]. Как будет
показано ниже для случая, когда границы раздела фаз представляют
собой софокусные эллипсоиды, это свойство сохраняется. Из общих
соображений следует, что индуцированный комплексный дипольный
~ ~
момент d линейно связан с комплексной амплитудой внешнего поля E
0
4
~ ~ ~ ~
a+
d = c ( E k )k exp (iwt), (12)
b= m 0 m m
m=x,y,z
где c - комплексная поляризуемость вдоль соответствующей оси
m
~
(c = c ). Момент сил N, создаваемый электрическим полем вычис-
x y
~ ~ ~ ~
ляется по формуле N = [ Red, ReE ]. Для поля E вращающегося
EXT EXT
вокруг оси симметрии эллипсоида, момент не зависит от времени и
равен [1]
~
2
N = - Im c E k , (13)
X 0 Z
а среднее по времени значение момента, создаваемого электрическим
полем, вращающимся вокруг оси y:
c + c
X Z ~
2
N = - Im ------- E k . (14)
0 Z
Таким образом, для нахождения индуцированного электрического
поля достаточно вычислить две комплексные величины c и c .
X Z
3. Вычисление комплексной поляризуемости.
В вытянутых эллипсоидальных координатах уравнение (1)
записывается в виде [9]:
2 2 2
] ] F ] ] F s - t ] F
# 2 $ # 2 $
---- (s -1) ----- + ---- (1-t ) ----- + ------------ ----- = 0.
3 4 3 4 2 2 2
]s ]s ]t ]t (s -1)(1-t ) ]v
(15)
На границах соседних областей условия непрерывности потенциала и
комплексной плотности тока, выражающее закон сохранения заряда [5]
записываются в виде:
F | = F | , (16)
j-1| j|
|s=s |s=s
j j
j=1,..,m
]F | ] F |
j-1| j |
e ------| = e ------| . (17)
j-1 | j |
]s | s = s ]s | s = s
j j
5
Здесь введена комплексная диэлектрическая проницаемость
0~
e = e e - i G /w, j=0,..,m (18)
j j j
где e и G - удельная диэлектрическая проницаемость и электропро-
j j
0
водность слоев соответственно; e - электрическая постоянная. При
записи условий (17) была использована ортогональность
эллипсоидальных координат, что позволило заменить производную по
нормали к поверхности s = s на производную по координате s.
j
Граничные условия для этой системы уравнений выглядят как ус-
ловие ограниченности потенциала внутри клетки и асимптотически
однородное поле на больших расстояниях от клетки:
F ---` E x при x --` 7 - (19)
1 0
- для вычисления комплексной величины c ;
x
F ---` E z при z --` 7 - (20)
1 0
- для вычисления комплексной величины c ( подразумевается, что
z
электрическое поле противонаправлено к соответствующей оси ).
В случае, когда поле направлено вдоль оси симметрии
эллипсоида, потенциал, очевидно, не зависит от переменной v:
]F/]v=0,и общее решение уравнения (15) следует искать в виде:
F = E c t [ A P(s) + B Q(s) ], (21)
j 0 j j
где P и Q - первые функции Лежандра первого и второго вида,
соответственно:
s s + 1
P(s) = s, Q(s) = --- ln -------, (22)
2 s - 1
A ,B - произвольные константы. Из условия ограничености (20)
j j
можно сразу найти две константы, входящих в условия (21):
A = 1, B = 0, (23)
1 m
а для остальных констант из условий (16)-(17) получаем рекуренные
6
соотношения:
e
j-1
[A P(s )+B Q(s )]Q'(s ) - ???? [A P'(s )+B Q'(s )]Q(s )
j j j j j e j j j j j
j
A = ???????????????????????????????????????????????????????
j-1
P(s )Q'(s ) - P'(s )Q(s )
j j j j (24)
P(s )
j
B = [ A - A ] ????? + B
j-1 j j-1 j (25)
Q(s )
j
где штрих обозначает производную соответствующей функции.
Из выражений (23)-(25) можно легко найти все коэффициенты A ,
j
B , воспользовавшись следующим методом, вытекающим из прямой
j
пропорциональности всех A , B (j<m), коэффициенту A . Положив
j j m
1 1 1
условно A = 1, можно из (24)-(25). найти все коэффициенты A , B
m j j
Верхний индекс "1" означает, что коэффициенты вычислены при A =1.
m
1
Разумеется, при этом A будет отлично от единицы, поэтому истинные
0
1
значения коэффициентов меньше вычисленных в A раз:
0
1 1 1 1
A = A / A , B = B / A , (26)
j j 0 j j 0
Рассмотрим более подробно выражение для F . Первое слагаемое,
0
пропорциональное P(s), возрастает с увеличением s и в точности
равно правой части (20). Второе слагаемое соответствует дипольному
????????????
# 2 2 2+
члену и при достаточно больших r = e x + y + z 1 может быть
представлено в виде:
c E cos q
Z 0
-------------
E c t B Q(s) ~ - , (27)
0 0 2
4 p e e r
1 0
где q - угол между радиус - вектором точки и осью z. С учетом вида
асимптотического разложения для функции Q(s) [11] и формул (5)-
-(7) получаем [14]:
# 3 $
c = - B 4/3 p e e c . (28)
z 0 3 1 0 4
Величину -B в формуле (28) можно рассматривать как безразмерное
0
значение поляризуемости вдоль оси z, если считать, что
обезразмеривание произведено на величину в квадратных скобках.
При вычислении величины комплексной поляризуемости c вдоль
x
оси x необходимо учесть, что потенциал F является функцией всех
пространственных переменных s, t, v. Поэтому в случае
использования вместо граничного условия (20) условия (19), решение
уравнения (15) можно искать в виде:
------
# 2
F = E c e1 - t [ a p(s) + b q(s) ] cosv, j=0,..,m. (21)
j 0 j j
Здесь a , b - произвольные константы, p(s) и q(s) - присоединен-
j j
ные функции Лежандра первого и второго рода ( с верхними и нижними
индексами, равными единице [11] ):
/_____+ /_____+ # 1 s + 1 s $
2 2 --- ----- ------
p(s) = r s - 1, q(s) = r s - 1 ? ln - ?.
2
3 2 s - 1 s - 1 4 (30)
Дальнейшее решение строится аналогично. Выражения для
коэффициентов a , b получается из формул (24),(25) при замене
j j
функций Лежандра (22) на присоединенные функции (30). С учетом
асимптотики q(s) при больших значениях s [11] можно записать
выражение для поляризации вдоль оси x для случая клетки, вытянутой
вдоль оси z
# 3 $
c = 2 b 4/3 p e e c . (28)
z 1 3 1 0 4
Таким образом, вычислены величины комплексной поляризуемости
c и c , входящие в выражения (13), (14) для моментов сил,
x z
действующих на клетку.
В случае дискообразных клеток ( сплюснутых эллипсоидов
вращения, a > b ) в вышеприведенные формулы нужно ввести ряд
изменений:
___________
# 2 +
e = e (a/b) - 1 , (3')
r 3e
0
_________
c = , (4')
3/______+
2
r 1 + e
2 2 2 2 2
x = c ( s + 1 )( 1 - t ) cos v, (5')
2 2 2 2 2
y = c ( s + 1 )( 1 - t ) sin v, (6')
Уравнение Лапласа (1) в сплюснутой эллипсоидальной системе
координат записывается в виде:
2 2 2
] ] F ] ] F s + t ] F
# 2 $ # 2 $
---- (s +1) ----- + ---- (1-t ) ----- + ------------ ----- = 0.
3 4 3 4 2 2 2
]s ]s ]t ]t (s +1)(1-t ) ]v
(15')
Его решение можно по-прежнему искать в виде (21) и (29) для полей
соответствующей ориентации, однако вместо функций Лежандра P(s) и
p(s) следует использовать сответствующие функции от чисто мнимого
аргумента is, деленные на i, а функции Q(s) и q(s) следует
заменить на Q(is) и q(is):
P(s) = s, Q(s) = s arcctg s -1, (22')
/_____+ /_____+ s *
2 2 --------
p(s) = r s + 1, q(s) = r s + 1 ? arcctg s - ?. (30')
2
7 s + 1 8
Остальные формулы остаются без изменений.
Таким образом, при ориентации оси симметрии клетки вдоль оси
вращения электрического поля или поперек этой оси найден вращающий
момент электрических сил, действующих на клетку.
Отметим, что в случае, когда ось симметрии клетки составляет
с осью вращения угол j: 0<j< p/2, дипольный момент клетки не будет
лежать в плоскости вращения электрического поля, что неизбежно
через некоторое время приведет к повороту дипольного момента и,
следовательно, самой клетки [14].
4. Сила вязкого трения вращающейся осесимметричной клетки
В работе [15] получено выражение для момента N сил
трения, действующих на поверхность вытянутого эллипсоида,
вращающегося вокруг своей оси:
16p 1
3
N =-???- hW c -???????-. (32)
3 Q'(1/e)
Здесь h - вязкость жидкости, W - угловая скорость вращения.
Используя (4), можно из (32) выразить угловую скорость W:
2
N 3 (1-e ) Q'(1/e)*
---------
W = { ----------------}. (33)
3 3
8ph (r ) 7 2 e 8
0
Фигурная скобка в (33) не зависит от размера r и определяется
0
только формой клетки e. При форме клетки, близкой к сферической (e
-~ 0) фигурная скобка стремится к 1 и выражение (33) переходит в
простое соотношение для шара ~12].
Для сплюснутых эллипсоидов вращения также возможно
использовать (32), где e, c и функции Q(s) должны определяться по
формулам (3'), (4') и (22') соответственно.
Таким образом, найдя из формул раздела 3 полный момент сил
электрического поля, действующий на клетку, с помощью формулы (33)
возможно вычислить угловую скорость ее вращения. Подчеркнем, что в
рамках сделанных предположений о форме клетки, эти формулы дают
явные аналитические соотношения.
5. Обсуждение результатов.
На рис.2 показана зависимость обезразмеренной скорости вращения
клетки W от логарифма частоты вращения внешнего электрического
поля w для различных соотношений a/b. Прежде всего необходимо
отметить, что фактически скорость вращения довольно слабо зависит
от формы. Так, изменение соотношения a/b от 1 до 8 приводит к
изменению скорости вращения не более, чем на десятки процентов.
Отметим, что это не является тривиальным результатом, поскольку
момент электрических сил при этом изменяется в несколько раз.
Однако при этом одновременно изменяется в противоположном
направлении абсолютная скорость движения участка поверхности
клетки. Так, при вытягивании эллипсоида уменьшается его
поляризация в перпендикулярном к оси симметрии направлении, и,
следовательно, уменьшается момент электрических сил, но при этом
уменьшается и вязкое трение, что приводит к общей неизменности
скорости вращения клетки.
Обсудим поведение зависимости W(w) для однослойной мембраны. (
Многослойные мембраны имеют более сложный вид W(w), который будет
обсуждаться применительно к экспериментальным результатам в
последующих работах.) При достаточно малых частотах w
электрический ток не протекает через диэлектрическую оболочку
клетки, а симметрично ее обтекает. Поэтому в системе не возникает
моментов электрических сил. При приближении к частоте первого пика
w , возрастает емкостной ток через мембрану, что приводит к
1
появлению существенной мнимой части у комплексной поляризуемости
c . Таким образом, положение первого пика в основном определяется
X
емкостью клеточной мембраны. Поэтому смещение пика,
соответствующего w в сторону больших частот не является строго
1
обоснованным, поскольку при решении нашей задачи удельная
мембранная емкость не предполагалась строго постоянной величиной.
Более интересным является смещение величины w ,
2
соответствующей второму ( отрицательному ) пику. При построении
теории электровращения для шарообразных клеток [1], для w была
2
получена оценка вида
s
2
------
w , (34)
2 ~ ~
e e
0 2
т.е. предположение, что действительная и мнимая части комплексной
диэлектрической проницаемости среды внутри клетки примерно равны
~
между собой. Поскольку e мало отличается от диэлектрической
2
проницаемости воды, формула (34) позволяет по характерной частоте
w оценивать проводимость внутри клетки. Однако, как показывают
2
результаты на рис.2, положение w зависит от формы клетки. Это не
2
опровергает оценку (34), поскольку в правую часть (34) может
входить безразмерный фактор формы. Интересно также отметить то,
что пик кривой 2 опускается ниже пиков кривых 1 и 3, что означает
немонотонность кривой, выражающей зависимость (W(w )) от
2
соотношения a/b.
В заключение отметим, что выведенные соотношения для
поляризуемости c вытянутых и сплюснутых клеток можно использовать
также и для описания электрофоретических явлений в переменном
электрическом поле [1,14].
Благодарности: Автор благодарит В.Ф.Пастушенко, Э.Доната и Г.Фура
за тему для исследования и весьма полезные дисскусии, а также П. .
Кузьмина за помощь в проведении вычислений на ЭВМ.
Литература.
1. Пастушенко В.Ф., Кузьмин П.И., Чизмаджев Ю.А. // Биол.мембраны.
1988.Т.5.С.65-78.
2. Fuhr G., Kuzmin P. // Biophys.J. 1986. V.50. P.789-795.
3. Sauer F.A.// Coherent Excilations in Biological Systems / Eds.
Frohlich H., Kremer F., Berlin: Heidelberg: Springer Verlag,
1983. P.134-144.
4.Sauer F.A., Schlogl R.W.// Interactions Between Electromagnetic
Fields and Cells / Eds.Chiabrera A., Nicolini C., Schwan H.P.
N.Y.: Plenum Publ.Co.,1985.N4.P.203-205.
5. Fuhr G., Hagedorn R., Muller T.// Stud.Biophys.1985.V.107.P.116
6. Fuhr G., Hagedorn R., Muller T.// Stud.Biophys.1985.V.107.P.23.
7. Glaser R.,Fuhr G., Gimsa J.// Stud.Biophys.1983.V.96.P.11-20.
8. Fuhr G.,Glaser R.,Hagedorn R.//Biophys.J.1986.V.49.N.2.P.395.
9. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике.М.:Наука,1970.720 с.
10.Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.М.:
Наука.1982.624 с.
11.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М.: Наука.1971. 1108 с.
12.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука.1986. 736 с.
13.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
М.: Наука. 1976. 576 с.
14.Schwartz J., Saiton M., Schwan H.P. // J. Chem. Physics. -
1965.- V.43.-P.3562-3569.
15.Jeffery G.B. // Proc.Lond.Math.Soc.-1915.-V.14.-P.327-336.
Подписи к рисункам.
Рис.1. Схема строения клеточной оболочки и обозначения
геометрических и электрических характеристик: a,b - полуоси (
a > b для вытянутого эллипсоида ), c - половина расстояния
~
между фокусами, h - толщина оболочки, соответственно, e и
j j
G относительная диэлектрическая проницаемость и
j
проводимость, соответственно.
Рис.2 Зависимость безразмерной скорости вращения клетки от частоты
вращения внешнего поля. Отношение толщины оболочки к размеру
-4
клетки h /r =10 , удельная электропроводность оболочки,
B 0
-12 -4
среды внутри и снаружи клетки 10 , 1 и 10 см/c,
соответственно, относительная диэлектрическая проницаемость
~
оболочки e=2. Кривые 1-3 соответствуют отношению a/b равному
1, 4, 8, соответственно.