РЕФЕРАТ
на право допуска к экзамену кандидатского минимума
Содержание.
1. Введение. 1
2. Концепция многих миров - как основа формальной логики. 5
2.1 Определение и примеры концепции многих миров. 5
2.2 Возникновение парадоксов в теории возможных миров. 6
2.3 Теория возможных миров и ее связь с более глубоким описанием действительного мира . 9
3. Гильбертовская программа обоснования математики. 11
3.1 Фундаментальные противоречия в математике. -
3.2 Идеальные математические объекты - орудия для построения
совершенных математических теорий. 12
3.3 Идеальные высказывания и непротиворечивость математики. 14
4. Теоремы Геделя о неполноте формализованной арифметики. 18
4.1 Бесконечность числа арифметических аксиом. -
4.2 Теорема Геделя и антиномии. 19
4.3 Логициская критика Гильбертовской программы. 20
4.4 Диалектика перехода к актуально бесконечным множествам. 22
5. Заключение. 24
Список использованной литературы. 26
Введение.
.
В области философии и методологии естествознания хорошо известны последствия кризиса, разразившегося в физике на рубеже Х1Х-ХХ столетий и со всей тщательностью проанализировнного В.И. Лениным в работе "Материализм и эмпириокритицизм" /1/. Однако кризис в математике, вызванный открытием знаменитых теорем Геделя о неполноте, как часть общего кризиса в естествознании исследован значительно меньше. Это связано с тем, что хотя математика и называется естественнной наукой, задача установления генетической связи ее понятий с внешним миром остается очень трудной. В частности, достаточно распространненой точкой зрения является та, что, поскольку понятия математики создаем мы сами, и у них нет иной жизни, кроме как в нашем воображении. А если так, то они или известны нам полностью по своей природе, или же мы узнаем о них все, приложив достаточные усилия. (Иначе обстоит дело с объектами, существующими во внешнем мире. Наши знания о них всегда неполны, приблизительны и не могут быть исчерпывающими или окончательными.) Философский вопрос о существовании матетических объектов, в частности натуральных чисел, следует, видимо, решать на основании сопоставления между собой двух категорий: абстрактно-общей и конкретно-общего. Известно, что следуя законам формальной логики, мысль движется в понятиях абстрактно-общего. Например, в абстрактном понятии "плод" заключено то общее, и только общее, что присуще яблоку, сливе, груше и т.п. С другой стороны, диалектическая логика, следуя методу восхождения от абстрактного к конкретному, "заземляет" абстрактно-общее, превращая его в конкретно-общее, в материальную систему, противопостовляющую сознанию субъекта, в которой общее получает тот же статус существования, что и отдельное, единичное, то конкретночувственное, с которого начинается процесс получения абстракций. Класическим образцом перехода от абстрактно-общего к конкретнообщему служит "Капитал" К.Маркса, в частности обоснование в нем понятия стоимости и прибавочной стоимости. Можно показать, что образуя понятие стоимости, Маркс следует точно тому же принципу абстракции, которым мы пользуемся при определении понятия натурального числа. Но он не ограничивается этим. В вопросе о стоимости он переходит к конкретно-общему, пользуется принципом рефлексивности с отрицанием, наподобие того, как этот последний используется при определении материального бытия.
Ф. Энгельс в предисловии ко второму тому "Капитала" разъясняет эту мысль следующим образом, указывая, что школа Рикардо потерпела крах около 1830 года на прибавочной стоимости:
"Труд есть мера стоимости. Но живой труд при обмене на капитал имеет меньшую стоимость, чем овеществленный труд, на который он обменивается. Заработная плата, стоимость определенного количеста живого труда, всегда меньше, чем стоимость продукта, который произведен этим самым количеством живого труда или в котором этот труд выражается. В таком понимании вопрос действительно неразрешим".
Какой же выход может быть найден из этого видимого противоречия ?
"Марксом, продолжает Энгельс, - он правильно поставлен , и тем самым на него дан ответ. Труд не имеет стоимости. Как деятельность, создающая стоимость,он также не может иметь особой стоимости, как тяжесть не может иметь особого веса, теплота - особой температуры, электричество - особой силы тока. Покупается и продается как товар не труд, а рабочая сила."/ /
Маркс, следовательно, определяет стоимость через труд, как через то, что само стоимости не имеет. При этом труд оказыается уже не чем-то абстракто-общим, а живым трудом - с живой рабочей силой, т.е. тем, что следует отнести к категории конкретно-общего.( Для того чтобы правильно образовать понятие материального объекта, мы должны использовать предикат существования, который сам не имеет существования в том смысле, в каком существуют материальные объекты; но каждый материальный объект существует
одновременно и как нечто индивидуальное, отдельное и как конкретно-общее, выражающее его связи с другими объектами ).
Примером из области естествознания является понятие Щ-поля в квантовой теории. Как абстрактно-общее волновая Щ-функция выступает в качестве объекта где-то на четвертом уровне абстракции. Но как конкретно-общее волновое Щ-поле существует не над частицами - атомами, электронами и т.п., а вместе с ними ( Например, оно изменяется во времени под действием реальных физических сил)
Математика в этом отношении занимает промежуточное положение
между формальной логикой и естествознанием. С точки зрения формального подхода типов свойства натуральных чисел можно отнести к объектам (n+1) -го типа если числа имеют тип n.( Фактически натуральные числа мы относим ко второму типу). В то же время с точки зрения перехода к конкретно-общему оказывается, что свойства чисел существуют в конкретной системе натуральных чисел в том же самом смысле, что и сами числа.
Представляется возможным опираясь на результаты Геделя, обосновать надежным способом понятие актуальной бесконечности, а затем, пользуясь методом восхождения от абстрактного к конкретному, показать, что структура связи конечного и потенциально-бесконечного с актуально-бесконечным ( актуальной и настоящей бесконечностью ) воспроизводит на математическом языке логическую структуру отношения между сознанем и внешним миром. При этом попутно будет продемонстрировано, что при переходе от формальной логики к математике выясняется соотношение между логикой как теорией всех возможных миров и математикой как теорией, распологающей большими средствами для описания действительного мира в смысле построения его динамической картины.
Индикаторами этого перехода как раз и служат антиномии типа ан- тиномий Рассела, выражающие сущность настоящей бесконечности.
Главная заслуга Геделя состоит в том, что он доказал наличие
следа актуальной бесконечности в рамках конечного, т.е. пользуясь только финитными методами рассуждений, которые практически никем не оспаривались. Используя "трансциндентный скачок" таким образом, что он дает возможность построить некоторое недоказуемое, но истинное предположение, Гедель показал, что проверка истинности этого предложения осуществляется также в рамках финитизма.
@:
2. Концепция многих миров - как основа формальной логики.
логики. .
.
2.1 Определение и примеры концепции многих миров.
.
Важной для создания достоверной математической картины является концепция многих миров." Что мы понимаем под "возможным миром" спрашивал, например Р.Карнап. И отвечал: " Просто мир, который может описываться без противоречий. Сюда входят сказочные миры и вымышленные миры самого фантастического рода при условии , что они описываются в логически непротиворечивых терминах. Мы можем сказазать,что возможные миры являются мыслимыми мирами, но я пытаюсь избегать этого термина, потому что он иногда используется как то "что может вообразить человеческое существо".Многие возможные миры могут быть описаны, но их нельзя вообразить"./ / Позитивиская концепция теории возможных миров грешит в одном существенном пункте. Она полагает, что законы математики в той же мере неспособны выделить действительный мир среди множества возможных миров, как и законы элементарной логики. Или, другими словами, законами математики описывается только то общее, что имеет действительный мир с другими возможным мирами. Действительный мир, по мнению Карнапа, выделяется своим описанием среди всех возможных миров только тогда, когда в дедуктивную теорию привносятся законы эмпирических наук, таких, как физика, например. Эту мысль сам Карнап выражает даже в более сильной и категоричной форме: "Законы логики и чистой математики благодаря самой их природе не могут быть использованы в качестве основы для
научного объяснения, потому что они ничего не говорят нам о том, что отличало бы действительный мир от некоторого другого возможного мира"./ /
Неправильно трактовать переход от чистой логики к чистой математике как переход от одного варианта теории возможных миров к другому. Более того, уже второпорядковое исчисление предикатов нельзя рассматриватькак теорию возможных миров, если не принять особых мер предосторожности. Так что на эти переходы скорее следует смотреть как на переходы от теории возможных миров к более глубокому описанию действительного мира (естественно средствами математики, вернее, средствами ее оснований) .
Простейшим образцом теории возможных миров является исчисление высказываний. Основное назначение законов логики заключается в предотовращении возникновения противоречий ( и путаницы) в
рассуждениях и умозаключениях вне зависимости от того, применяется ли они к описанию явлений в действительном мире, или относятся к чему-то лишь возможному. Так, если почему-либо принято "высказывание р=истине" (для логики безразлично, по каким причинам это принято), мы никогда не сможем прийти к "не-р = истине", хотя в формулах-тавтологиях могут фигурировать как р так и не-р.
.
2.2 Возникновение парадоксов в теории возможных миров.
.
Исчисление высказываний представляется, таким образом, идеаль ным воплощением теории возможных миров до тех пор, пока мы не начинаем применять его законы к собственно-семантическим высказываниям, не являющимися тавтологиями. Имеются в виду такие предложения, в которых дается оценка их собственной истинности. Наибольший интерес представляют те из них, оценка истинности которых сочетается с отрицанием ( рефлексивность с отрицанием ). Известный пример - утверждение Лжеца : " Это утверждение ложно".
Наличие парадоксов типа парадоксов Лжеца в естественном
языке еще не ведет к возникновению антиномий в исчислении высказываний, поскольку в это исчисление не входят предложения, выражающие свое собственное отношение к истине. Но дело коренным образом меняется, как только мы переходим от исчисления высказываний через первопорядковое исчисленние предикатов к второпорядковому исчислению предикатов или к ( второпорядковой ) теории множеств. Антиномии Рассела являются частным случаем выражений, полученого при переводе парадокса "Лжец" на расширенный язык ( теории множеств или второпорядкового исчисления предикатов ). Это удалось сделать за счет выражения утверждения "Лжеца" в несколько иной форме, а именно в виде высказывания: "Это предложение не принадлежит к классу истинных высказываний" . Разрешение парадокса "Лжец" в этом случае зависит от того, какой смысл вкладывается в понятие "класс истинных высказываний", как строится или определяется этот класс. Можно подозревать, что антиномия Лжеца заключает в себя определенную информациюо нашем взаимотношении с внешним миром. Заранее уже представляется правдоподобным, что никакое множество истинных предложений, выраженное средствми искусственного логико-математического языка ( предпологается, конечно, что язык используется непротиворечивым образом), не может быть полным. От этого заключения прямой путь к теореме А. Тарского о невозможности формализации понятия истины в языках, содержащих в себе по крайней мере арифметику натуральных чисел.
На семантические парадоксы типа "Лжец" разные исследователи в разные времена смотрели по-разному. Некоторые умы придавали им лишь значение курьеза, забавной игрушки, дающей одновременно ответ и "да" и "нет" и появляющихся в результате нарушения логического принципа достаточного основания. Другие же, наоборот, видели в подобных парадоксах неустранимые препятствия на пути познания, гармонического достижения логической истины. Так, например, на Х1V Международном конгрече Бенсон Мйнис высказал мысль, что никогда "интуитивные" решения таких антиномий, как антиномия Рассела и парадокса "Лжец", никогда не будут найдены.
Это осочается покрайней мере 2400 лет,и хотя многие подходы к
нему привелт к ряду интересных и разнообразных результатов, мы едва ли приувечили, если бы сказали, что прогресса в этом вопросе не достигнуто ни на одну йоту ". / /
Такой скептицизм в отношении парадоксов , или антиномий,
отчасти объясняется, видимо, тем, что скептически настренные авторы не видят никакой связи этих логико-лингвистических феноменов с теорией познания. Нам же представляется, что теоретикопознавательный подход к ним дает возможность сделать новый крупный шаг в решении всей общей проблемы.
Можно указать, какие требовния в связи с наличием индивидуальных предметом налагаются на второпорядковую теорию, чтобы она оставалась теорией возможных миров. Стандартной теорией возможных миров, с которой сравниваются другие ( второпорядковые ) теории, является, естественно, первопорядковое исчисление предикатов. Как и исчисление высказываний, исчисление высказывний, ис- числение предикатов обладает двумя существенными в этом отношении признаками - непротиворечивостю и полнотой. Есть, правда,
особеннось в характеристике полноты исчисления предикатов. По сравнению с полнотой исчислеия высказываний, полнота исчислеия предикатов называется нестрогой. Разница между понятием полноты в строгом и нестрогом смысле состоит в следующем : говорят, что исчисление предикатов обладает полнотой в строгом смысле, или полнотой второго рода / /, поскольку добавление недоказуемой пропорциональной формулы в качестве схемы аксиом к перечню постулатов этого высказывания нарушает ( простую ) непротиворечивость последнего.
.
2.3 Теория возможных миров и ее связь с более глубоким описанием действительного мира .
.
Возникновение антиномий при расширении языка первопорядкового исчисления предикатов может как раз рассматриваться как некоторый индикатор, свидетельствующий о том, что происходит переход от теории возможных миров к описанию некоторых черт действительного мира, которые не охватываются последней. " Логика пишет Бочвар, не содержит ни экзистенциальных суждений об отдельных объектах, ни суждений о специальных связях между объектами. Следовательно, расширенное функциональное исчисление не представляет собой в действительности чистологического формализма, хотя и включает в себя определенный логический формализм.
Это обстоятельство оставалось до сих пор незамеченным, вероятнно, благодаря тому, что самая конструкция области объектов рас-
ширенного исчисления исходит лишь из символов логического формализма; при этом, однако, упускалось из виду, что выход за пределы последнего же имеет место в указанных выше экзистенциальных аксиомах" / /.
Оказывается, что из исчисления предикатов второй ступени может быть выделен особый ингредиент - именно чисто логическое исчисление, непротиворечивость которого легко устанавливается. Этот ингредиент мы буудем рассматривать как теорию возможных миров, построеную на языке рассширенного функционального исчисления. При этом представляется возможность детально исследовать переход от теории возможных миров к описанию действительного мира. В эту расширеную систему исчисления включаются объекты, заключающие в себе существенные признаки понятия настоящей бесконечности ( или необходимые признаки понятия материального бытия) К ним относятся множество всех предикатов, множество всех нормальных множеств и т.д.
Бочвар утверждает, что математика невыводима из формальной логики, ибо для построения математики необходимы аксиомы, становливающие определенные факты относительно области объектов. Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой. Далее он замечает, что математика не является собранием тавтологических истин. Так что переход к математике, знаменуется не утверждением о существование объектов вообще, а объектов определенной природы.
@:
Гильбертовская программа обоснования математики.
.
3.1 Фундаментальные противоречия в математике.
.
Разрабатывая программу формального обоснования всей математики, начиная с элементарной арифметики, Гильберт, конечно же,
отдавал себе отчет в неизбежности аппеляции в ней к понятию актуально-бесконечного. В пользу этого свидетельствовл весь многовековой опыт возведения внушительного здания класической математики. Последовательное изложение, обоснование, дальнейшее развитие класического анализа, аналитической теории чисел и других ветвей математики, включая топологию, нельзя было представить без концепции акутальной бесконечности. Но, с другой стороны, теоретико-множественные парадоксы свидетельствовали о том, что эта же концепция порождает нетерпимые противоречия. "Над согласиться, - говорил Гильберт, что состояние, в котором мы находимся в отношении парадоксов на длительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истиности образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изчает, преподает и применяет, приводит к нелепостям. Где же искать истин, если даже само математическое мышление дает осечку/ /.
"Нелепостями" Гильберту представляется все логические проти-
воречия, в форму которых неизбежно облекались теоретико-множественные парадоксы. Ход умозаключения, который , казалось Гильберт, указыает удовлетворительный способ избавления от парадоксов без существенного изменения метаматематической науки, был приблизительно таким. Раз область бесконечного порождает противоречия ("нелепости"), т.е. то, что как бы противоположно истине, она не может служить источником истины. А отсюда идея разнести все значащие высказывания математики, которые в результате формализации изображаются в виде формул формализованной терии, по двум классам. В один класс должны войти формулы которым соответствют содержательные высказываний, т.е. по существу ( сообщения числовых равенств и неравенств, которые сами по себе никакого значения не имеют и которые являются реальными образцами нашей теории. , а в другой - идеальные.
.
3.2 Идеальные математические объекты - орудия для построения
совершенных математических теорий.
.
Идеальные образы или высказывания математической теории - это как раз все те высказывания, которые неизбежно появляютя в результате оперирования с актульно-бесконечными совокупностями при условии, что в рассуждениях, касающихся этих совокупностей, соблюсти все законы обычной логики. Таким образом, казалось возмож ным сохранить единство математического универсума, избавить его от введения в нем той ( бесконечной ) части, по отношению к которой интуиционалисты объявили недействительным закон исключения третьего. Но Гильберт остался на класических позициях и в другом отношении. Он не считал идеальные высказывания всецело бесполезными. Их назначение, по его мнению, состоит в том, чтобы наводить наиболее простым способом порядок в комбинации реальных, т.е. финитных высказываний. Как это выглядит на практике математических исследований, Гильберт показал на конкретных примерах.
Метод идеальных высказваний ( образов ) , или идеальных
элементов, находит себе применение, говорит он , уже в элементарной геометрии плоскости. Здесь реальным, действительным по существу предметами являются вначале только точки и прямые плоскости. Для них действует, между прочим, аксиома соединения : через две точки проходит одна и только одна прямая. Отсюда получается, что две прямые пересекаются не более чем в одной точке Но теорема, утверждающая, что две прямые всегда перескаются в одной точке, неверна: две прямые могут быть паралельными. Однако известно, что с помощью идеальных элементов,а именно с помощью бесконечно-удаленных точек и с помощью одной бесконечно-удален-
ной прямой можно достичь того, что теорема, согласно которой все прямые пересекаются в одной и только одной точке, окажется справедливой во всех слчаях.
"Идеальные "бесконечно-удаленные элементы" , - подводит итог своим рассуждениям Гильберт, - приносят ту пользу, что они делают систему законов соединения возможно более простой и обозримой. Вследствие симметрии между точкой и прямой оказывается столь плодотворным принцип двойственности в геометрии " / /.
Можно в дополнение к примерам Гильберта, привести огромное
число других и не менее впечатлющих образцов подобного рода. Без них не обходится и теория множеств. Доказательство теорем, согласно которым множеств всех подмножеств исходного множества с кардинальным числом п имеет мощность 2 , опирается на представление о таком идеальном элементе, как пустое множество, которое считается подмножеством любого произвольного множества.
Вывод в духе Гильберта состоит в том, что идеальные элементы
образы, высказывания математической теории служжат для того, чтобы сделать комбинации реальных высказываний, изящныит, обозримыми. Одним словом, их служебная функция заключается в том, чтобы порождать не истину, а простоту и красоту.
.
3.3 Идеальные высказывания и непротиворечивость математики.
.
В конце концов,подлино-математические реальности - источник содержательной истины - сводится, по Гильберту, к реальности комбинаторных конструкций, возводимых из чувственно осязаемых знаков в виде цепей формул. То, что должно быть сделано, что бы финитная программа обоснования математики полчила свое полное оправдание, сводилось к доказательству следующей гипотезы: идеальные высказывания теорем, с которыми приходится считаться в финитной области математики, не вносят в эту область противоречий. Именно: расширение универсума рассуждений, осуществляемое
прибавление идеалов, "допустимо только при условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий не возникает, т. е. при условии, что соотношения, которые получаются для старых образов после исключения идеальных, всегда в старой теории имели место". / /
Доказательство непротиворечивости тем самым , согласно гильбертовской программе, могло и должно опираться на демонстрацию того факта, что использование идеальных высказываний не увеличивает объема множества тех истин, или терем, которым соответствуют содержательные сообщения конечных высказываний.
В том, что финитные рассуждения к противоречиям не приводят, можно убедиться, полагал Гильберт, почти непосредственно. Ведь из чего слагается финитно-комбинаторный метод? Во-первых, в нем объединяются на единой основе законы двух алгебр - обычной алгебры и булевой алгебры, или алгебры логики. Эта единая основа определяется идеализирующими допущениями общечеловеческого характера Прибавляемая к арсеналу дедуктивных средств аксиома полной индукции в случае формализации элементарной арифметики не могла сделать доказательство непротиворечивости необозримым, т.к. предпологается проверка на непротиворечивость каждого от-
дельного шага индкции.
Какие упущения в программе гильберта сейчас представляются очевидными? Операция "множество чего-либо" является инструментом синтеза, базирующийся на скрытой проблеме бесконечности. Несколько зашифрованная в них мысль сводится к тому, что первичная идея, на которю опирается понятие множества, есть идея закономерности, подчиняющей себе некоторую бесконечную совокупность предметов. Ее простейшим абстрактным выражением является понятие порядка, стало быть, упорядоченного множества, которое ( понятие ) имеет нетривиальный смысл только в отношении бесконечных множеств. Только отвлечение от закономерности, или порядка, связывающих элементы в бесконечном множестве, ведет к рассмотрению произвольных неупорядоченных множеств - конечных и бесконечных. Целостность бесконечных совокупностей, которая имеется в
виду, когда говорят об актально-бесконечных множествах, необязательно напрямую связывать с таким представлением, как представление об их завершенности. Более того, определенные актуальнобесконечные множества, заданые всеми своими элементами, имеют чисто методологический характер, хотя им и удобно пользоваться.
Целостность как ощественная характеристика, входящая в содержание понятия "актуальная бесконечночть" - это закономерность, или закон, выделяющий из какого-то исходного многообразия предметов те, которые удовлетворяют этому закону.
Что же такое закон индуктивно построенных формул ? Ответ на такой вопрос будет вполне понятен только при условии, что будет дано определение целостного многообразия самих индктивных, или точнее, рекурсивных закономерностей. Но предпосылка этой целостности - в целостном характере, или, если пользоваться традиционными словами, завершенности множества натуральных чисел. Суждение, выражающее данную целостность или закономерность, имеет синтетичский характер. Оно и привело Геделя в конечном счете и к трансфинитной истине, и к трансфинитной ииндукции свойств натуральных чисел.
Разъясняя положение, согласно которому бесконечность нельзя обнаружить как нечто данное в опыте или интуиции, Гильберт и Бернайс подводят к пониманию того факта, что вопрос о существовании какого-либо бесконечного многообразия не может быть разрешен посредством указания каких-либо внематематических объек тов, а должен решаться внутри самой математики, и ставит опять
же вопрос, как такое решение может быть осуществленно./ /
"На первый взгляд, - пишут они, - кажется что нам вообще хочется чего-то невозможного. Бесконечного количества индивидов предъявить невозможно в принципе, поэтому бесконечность индивидной области как такой может быть выявленна лишь в ее структуре, т.е. в тех отношениях, которые имеются между ее элементами. Другими словами, мы должны будем показать, что рассматриваемая индивидная область удовлетворяет формальным соотношениям. Следовательно, существование бесконечной индивидной области нельзя представить себе иначе, кроме как через выполнимость определенных логических формул; однако это будут формулы как раз такого рода, что и формулы, в результате исследования которых мы были подведены к вопросу о том, существует ли какое-нибудь бесконечная индивидная область, и выполнимость которая мы как раз и должны были установить посредством бесконечной индивидной области. Таким образом, попытка применить упомянутый метод построения модели к рассматриваемым формулам приводит нас к порочному кругу ." / /
Единственное, что остается, по Гильберту и Бернайсу, для
обоснования бесконечности, - это ссылка на отсутствие логического противоречия. Но это слишком слабый аргумент в пользу бесконечного.
@:
4. Теоремы Геделя о неполноте формализованной арифметики.
.
4.1 Бесконечность числа арифметических аксиом.
.
По Геделю бесконечность - это не некая статичная индивидная область, это скорее процесс и его результат, трансфинитный аргумент, необходимость которого не сводится к формально логическому условию отсутствия противоречия, но определяется и гносеологическими соображениями, законами более высокой логики - логики диалектической. Согласно законам этой логики логико-аналитические и диалектико-синтетические акты мысли, соответственно истина и красота, не исключают полностью друг друга, но находятся в отношении, аналогичном тому, которое в естествознании приннято называть отношением дополнительности ( по Н. Бору ). В единстве логико-аналитического и диалектико-синтетического содержания мысли предстает и избретенная Геделем формула, которая, будчи истинной, утверждает свою собственную недоказуемость заранее фиксированными средствами формальной системы.
"Понятие стандартной интерпритации есть неформальный акт
мышления, с помощью которого мы каждый раз угадываем (не выводим ! ) истиность формулы Геделя. Если записать формулу Геделя в виде обычного утверждения о целых числах, это будет очень длинная арифметическая теорема страного вида, прямое доказательство которой скорее всего представит громадные трудности и заведомо потребует введния новых принципов. Можно думать, что типологически такой акт мышления родственен тем, с которыми связаны все вообще крупные математические открытия ( в том числе и открытие Геделя." / /
Когда говорят о существованной неполноте, или непополнимости
системы аксиом арифметики, имеют в в виду, что эта система не будет удовлетворять требованию полноты даже в том случае, если ее пополнить счетно-бесконечным множеством дополнительных аксиом. Вопреки положению, казавшемся все еще совсем недавно естественным, что о понятиях математики мы можем "узнать все, поскольку у них нет иой жизни, кроме как в нашем воображении"/ / запас арифметических истин оказался столь общирным, что ни из какой, даже счетно-бесконечной, фиксированной системы аксиом их нельзя формально вывести все.
.
4.2 Теорема Геделя и антиномии.
.
Статья Геделя /. ./ представляет интерес тем, что в ней он показывает органическую связь своей аргментации с парадоксом Эпименида.
Допустим, говорит Гедель, что 4 мая 1934 г. А делает утверждение: "Каждое утверждение, которое А делает 4 мая 1934 г.,ложно". Очевидно, что это утверждение не может быть истинным. Оно также не может быть ложным, так как единственный для него способ быть ложным сводится к тому , что А должен быть сделать истинное утверждение в установленное время и именно в то время, когда он делает свое единственное заявление.
Решение, найденное Уайтхедом и Расселом, замечает Гедель, является слишком крутым ( неоправданным ). Ибо ряд рефлексивных предложений, несомненно, не может быть перечеркнут в качестве бессмысленных: арифметические рефлексивные предложения, построенные на основании рекрсивно определимых функций, являются значащими.
Хрестоматийный способ разрешения парадокса "Лжец" сводится к тому, что А должен специализировать некоторый Язык В и заявить, что каждое утверждение, которое он сделал в данное время было ложным утверждением в В. Но "ложное утверждение в В " не может быт выраженным в В. Следовательо, его утверждение было сделано в некотором другом языке и парадокс исчезает./ /
Гедель также поминает о таком предварительном разрешении парадокса "Лжец", но для него этот парадокс служит лишь исходным пнктом, тем эвристическим приемом, который используется при доказательстве существования неразрешимых предложений - объектов трансфинитного понятия. / /
.
4.3 Логициская критика Гильбертовской программы.
.
Со времен появления теорем Геделя гильбертовский тезис о существовании математических объектов - существет то, что непротиворечиво, - завоевавший одно время прочные позиции, перестал быть достаточным и даже во всех случаях необходимым. С одной стороны, было бы трудно отказывать в некотором статусе существования тем противоречивым объектам, которые порождают антиномии. С другой стороны, с условием ( простой ) непротиворечивости оказалось совместным существование таких объектов, высказывания о которых заведомо ложны. Ведь последние движут математическую мысль, являются вместе с запросами практики, источником развития математики.
"Гильберт, - писал Рассел, - полагает, что если набор аксиом
не ведет к противоречию, тогда должно быть некоторое множество объектов, которые удовлетворяют этим аксиомам; поэтому вместо
того, чтобы заняться установлением существования теорем посредством нахождения примеров, он посвящает себя методам доказательства самонепротиворечивости аксиом. Здесь, однако, он забыл, что арифметика имеет практическое значение. Не имеется пределов для систем непротиворечивых аксиом, которые могут быть изобретены. Причины, по которым мы особо интересуемся аксиомами, что ведут к обычной арифметике, лежат вне арифметики и должны быть связаны с приложением числа к эмпирическому материалу; но теория, которая заранее делает это невозможным, не может быть верной."/ /
Хотя Рассел критиковал Гильберта с позиции логицизма, кото-
рый сам не лишен многих недостатков, основное острие его критики направлено точно в цель. Более того, не лишена смысла расселовская мысль об утверждении существования математических теорем на основании примеров. Примерами в таком случае будут примеры абстрактных объектов, которые входят в объем соответствющих понятий, использемых при доказательстве теорем. Примерами объектов входящих в объем понятиия "множество натуральных чисел" служат числа 1, 2, 3 и т.д. Однако дать обоснование конструкции существования в математике с помощью одних наглядных примеров невозможно. Неизвестно, может ли стать объектом изучения множество физических объектов с кардинальным числом 10 , тем не менее мы безоговорочно принимаем, что натуральное число 10 существует Почему? Потом, что к том вынуждают логико-математические основания: конструктивный характер числа 10 в принципе тот же, что и для чисел 1, 2, 3, и т.д. и определяется применением идеи "следовать за".
.
4.4 Диалектика перехода к актуально бесконечным множествам.
.
Более важен вопрос о том, какой смысл вкладывается в понятие существования актуально заданого ряда ряда натуральных чисел или, точнее, целостного множества натуральных чисел.
Для его разрешения недостаточно пользоваться законами формаль-
ной логики. Требуется нечто большее. Это большее, - законы или принципы более высокой логики - выявляются в особености в структуре трансфинитного аргумента Геделя. Рекурсивный пересчет доказуемых формул, или теорем, в формальной системе арифметики придает ряду этих теорем то естественное расположение, которое характеризуется порядковым типом ( числом ¬ ). Той же последовательности теорем вместе с формулой Геделя будет соответствовать порядковое число ¬+1. Продолжая вывод теорем формальной системы арифметики при расширении аксиоматики Пеано за счет дополнения ее формулой Геделя, мы получим новый рекурсивный пересчет доказу емых формул с ординалами ¬+1 ¬+2 ¬+3.... вполь до ¬+¬. И далее, пользуясь тем же трансфинитным приемом - диагональным рассждениями, получил новую последовательность доказуемых формул с ординалами ¬2+1, ¬2+2,¬2+3....
Подобное сопоставление рекурсивно перечислимых последовательностей доказумых формул с последовательностями канторовских ординальных чисел наталкивает на важные предположения и заключения. Прежде всего возникает предположение, что канторовская модель ординальных и кардинальных чисел ( конечных и бесконечных ) является абстрактным выражением или обобщением последовательности рекурсивных закономерностей, которая (последовательность ) составляет часть канторовского Абсолюта, или множества всех ординальных и кардинальных чисел. Под таким углом зрения в канторовском числе ¬ , которое есть общая характеристика всех счетно-бесконечных последовательностей, можно видеть выражение и общего свойства всех рекурсивно перечислимых последовательностей доказуемых формул.
Далее можно сделать некоторые заключения о логической структуре перехода от конечных кардинальных чисел к трансфинитному числу ¬ .Формула Геделя отрицает свою принадлежность к множеству доказемых формул, поскольку она не доказуема средствами формальной системы арифметики; с другой стороны, она имеет с доказуемыми формулами то общее свойство, которое выражается предикатом
"быть истинным". Стало быть переход к ¬ не определяется обычной формальнологической операцией отрицания. Здесь используется отрицание с удержанием определенного позитивного содержжания из того, что отрицается. Такое отрицание называется диалектическим отрицанием, или "снятием", а принцип, контролирующий его использование, - принцип диалектического отрицания. Принцип этот относится к диалектической логике. Поэтому можно сказать, что существование актуально заданого множества натуральных чисел утверждается или гарантирется диалектическими законами и принципами.
Далее приходится признать, что с одной и той же логической
необходимостью дается нам как понятие актуально заданого ряда противоречивого канторовского многообразия всех ординальных и кардинальных чисел ( или множество нормальных множеств). Но как можно квалифицировать статус существования таких противоречивых многообразий ? Мы будем говорить, что множество всех нормальных множеств имеет неполную форму существования, подрузамевая при этом, что соответствующий символ существования становится полным, когда антиномия разрешается. Процесс и его результат, вот, что моделируется самой антиномией и результатом ее разрешения.
.
5.Заключение.
.
В теории множеств накоплено к настоящему времени более десятка
различных рецептов, более или менее радикальных, позврляющих блокировать появление антиномий. Однако, как настаивает Гедель, "полнокровное" разрешение парадоксов невозможно вне рамок интенсионального контекста. Он отмечает, что парадоксы в теориии множеств не вызывают особого беспокойства . "Они являются самой серьезной проблемой , но не для математики, а скорее для логики и философии. Что бы предотввратить неверное использвание этого замечания, Гедель добавляет следующее: "Это наблюдение никоим образом не направлено на отрицание того факта, что отдельные принципы логики сформулированы достаточно удовлетворительно, в частности, все те которые используются в приложении логики к науам, включая математику, как она была точно определена"/ / Хао Ван вообще все парадоксы называет, следуя Геделю, интенсиональными/ /.
Какова же специфика того интенсионального контекста логики, который ответственен за возникновение антиномий? Мы видели на конкректых примерах - что противоречия рождаются в результате выхода за рамки конечного в область бесконечного, описание которой требует синтетических высказываний. Еще в философии Канта поставлена проблема разделения всех суждений математики на логико-аналитические и синтетические. Последние Кант называл синтетическими a priori, чтобы отличать их от апостериорных синтетических суждений опытного происхождения. Наличие синтетических a priori суждений в математике Кант под сомнен ие не ставил. Для него главный вопрос заключался в том, как они вообще возможны, какова их природа. Разрабатывая критерий всеобщности и необходимости законов, открываемых человеком в процессе познания, в том числе и синтетических истин в математике, Кант сумел соотнести их ( законы и синтетические истины ) с понятием бесконечности. Сама проблема бесконечного предстала в свете взаимоотношении субъекта и объекта.
Гегель тоже внес ценный вклад в решение проблемы бесконечного; в логичечской структуре перехода от конечного ( потенциальнобесконечого ) к бесконечному ( актуально-бесконечному ) воспроизводится в терминах математики то, что на языке философии называется переходом количества в качество, превращение количественных изменений в качественные. В дальнейшем постепенно уточняли логическую структуру связи между конечным и бесконечным, описывая сначала наиболее общю схему диагональных рассжждений, затем уже более конкретный трансфинитный аргумент Геделя.
@:
Список использованной литературы.
1. Ленин В.И. Полное собрание сочинений т. 18.
2. Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч. т. 24.
3. М. Клайн. Математика, утрата определенности. М.,1984.
4. Бурбаки Н. Теория множеств. М,1965.
5. Карнап. Р. Философские основания физики. м., 1971.
6. Mates. B. Philocorhisal scerticism and the logical antinomies In. Akten des X1V Inter. Konf fur Fhilosofie. Wien, 1968.
7. Бочвар Д.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множжеств. В кн. Математический сборник. М., 1944, т. 15. 8. Гильберт Д. О бесконечном. В кн. Основания геометрии. М. , 1948., добавление 8.
9. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики., М.,1979.
10.Манин Ю.И. Лекции по математической логике. М., 1974; ч. 2. 11.Реньи А. Диалоги о математике. М., 1969.
12.Godel. K. On ndesidiable prorositions of formal mathematical systems. In The uundecidable. Hewlett ( N.Y.) , 1965.
13.Таванец П.В. О семантическом определении истины. В кн. Фило- софские проблемы современной формальной логики, М., 1962.
14. Rаssel B. The princirles of matematics. L. 1937.
15. Nao Wang From mathematics to rhilosorny. L., 1974.
16. Антипенко Л.Г. Проблема неполноты теории и ее гносеологи- ческое значение. М., Наука, 1986.
17. Гейзенберг В. Смысл и значкеие красоты в точных науках. - Вопросы философии, 1979, #12, с 49-60.
18. Расева в., Сикорский Р. Математика метаматематики. - М.;
Наука, 1972.
19. Манин Ю.И.Теорема Геделя. - Природа,1975, #12, с. 80-87.
20. Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте. - М. Наука, 1981 @: