Листок 31. Число e

1. Последовательность аn = (1 + 1/n)n возрастает, а bn = (1 + 1/n)n+1 - убывает. (Указание: рассмотреть аn+1n и bn/bn-1 и воспользоваться неравенством Бернулли.)

2. {аn} и {bn} сходятся, причём lim ann→∞ = lim bnn→∞. Назовём этот придел числом e.

3. Пусть cn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Докажите, что - {cn} сходится. Обозначим lim cnn→∞ = э.

4. э = e

5. Докажите, что e - cn ≤ 1/(n*n!). Вычислите первые 6 знаков числа e

6. Найти пределы последовательностей:
а) (1 + 1/(n+10))n б) (1 - 1/n)n в) (1 + 1/n2)n г)(1 + 1/(3*n))n

Возведение в степень (по мотивам 22 листка)

7. Для ∀x>0 x∈R и ∀n∈N ∃!y>0; y∈R: yn = x
Указание: Рассмотрите числа вида y ± (x - yn)/((1+y)n- yn) . Число будем называть арифметическим корнем из x. Обозначение: y = n√x. = x1/n

8. (x1/n)m = (x1/(k*n))(k*m) для любых x∈R; k,n,m∈Z. Поэтому правомерна запись (x1/n)m = xm/n

9. а= x1/n*y1/n = (x*y)1/n для x,y>0 и n∈N
б) x>1, p>q p,q∈Q ⇒ xp > xq

Определим теперь xy для x,y∈R и x>1 (для 1<x<1 определение аналогично):
xy =def= sup xp{p≤y|p∈Q}; 1y =def= 1

10. Основные свойства степенной функции:
а) x>1; y<z ⇒ xy < xz - монотонность
б) 1<x<z; y<0 ⇒ xy < zy
в) xy+z = xy*xz
г) (xy)z = xy*z
д) f(x) = xα - непрерывная функция.

Дальнейшие свойства e

11. α∈R\{0} а) исследуйте {(1 + α/n)n} на монотонность

б) lim (1 + α/n)nn→∞ = eα

в) (1 + α) < eα
г) lim xα*e-xn→∞ = 0

12. e - иррационально. Указание: n!*e ∉ Z

13**. Формула Стирлинга
аn = √(2*π*n)*(n/e)n: аn < n! < аn*e1/(12*n)
Эта формула используется очень широко в науке.

14. Какова приблизительно вероятность того, что в классе из 30 человек найдутся хотя бы двое, у кого совпадают днм рождения? При каком количестве человек эта вероятность больше 1/2?

Contact me!

Contact Information
Search

Home
Standard
Science
Teacher
Listok31

Skin:

Last modified
May 7, 2008

Slide show for vakhutinsky - double click on image to start
Slide show for vakhutinsky