Листок 29. Пределы

1) Пусть сущ. lim xnn→∞, lim ynn→∞:

a) xn = yn ⇒ lim xnn→∞ = lim ynn→∞:

b) xn ≥ yn ⇒ lim xnn→∞ ≥ lim ynn→∞:

c) верно ли, что xn > yn ⇒ lim xnn→∞ > lim ynn→∞:

2) lim xnn→∞ = a, lim ynn→∞ = b,

a) ∃ lim {xn ± yn) n→∞ = a ± b

b) ∃ lim {xn * yn) n→∞ = a * b

c) ∃ lim {xn / yn) n→∞ = a/b, b≠0

d) Обобщите теоремы для {a,b}∈R

3) Найти пределы для n→∞:
a) {xn} = (a*n2 + b*n + c)/(a*n2 + e*n + f)
b) {xn} = √(n2 + 1) - √(n2 - 1)
c) {xn} = sgn(n2 - 5*n -7)
d) {xn} = (2n + 3n+1 + 5n-1)/(3n + 5n+1)
e) {xn} = n *(√(n2 + 1) - n)

4. lim xnn→∞ = lim znn→∞ = a

∃k∈N такое, что для ∀ n>k xn≤yn≤zn ⇒ lim ynn→∞ = a (принцип милиционеров)

b) Лювая ограниченная монотонная последовательность имеет предел

5. Найти пределы при n→∞
a) xn: ∀n: n/(3n+5) < xn < (n4 + 15)/(3*n4 + 7)
b) xn = 1/(n2+1) + 1/(n2+2) + ... + 1/(n2+n)
c) xn = √(n2 + 1) - ∛(n3 + 1)
d) xn+1 = √(3*xn); x1=a
e) xn = cn
f) xn+1 = (xn + 1)/n2; x1=a

6) xn - ограничена, lim ynn→∞ = 0 ⇒ ∃ lim (xn*yn)n→∞ = 0

7) Найти пределы при n→∞
a) xn = {π;n}/n b) xn = [π;n]/n
c) xn = (cos n2 + 2* log n)/(4 * log n)2

8) a) Пусть ∀n xn>0 и lim {xn+1/xn)n→∞=a, a<1, тогда ∃ lim xnn→∞ = 0

b) что будет если a>1?
c) а=1?

9) Найти пределы:
а) xn = (na)/(an), a>1?
b) xn = (2n)!/an!
c) xn = (4*7*10*...*(3*n+1))/(2*6*10*...*(4*n+2))

10) Найти сумму геометрической прогрессии: x1 = b, xn+1 = xn + b*qn, lim xnn→∞ = ? Расмотреть разные q.

11) Найти lim sn = n→∞

a) sn = k=1 n∑ 1/(2k)

b) sn = k=1 n∑ (2k+1)/(22k)

c) sn = k=1 n∑ (-1)k/3k

d) sn = k=1 n∑ ((1 + 3 + 9 + ... 3k)/5k+2

e) w=0,a1a2a3...ak(b1b2...bm) - периодическая дробь; a = a1*10k-1 + a2*10k-2 + ak; b = b1*10m-1 + b2*10m-2 + bm; Выразить w через a и b

12) f - возрастающая функция, xn = f(xn-1), n>1
a) Докажите, что если x1≤x2, то xn - возрастает, x1≥x2, то убывает.
b) Если f - ограничена, то ∃ lim xnn→∞

13) Найти пределы при x1
а) xn = √(3 + xn-1) (n>1, x≥-3)
b) xn = - √(1 - xn-1) (n>1, x≤1)
c) xn = - xn-1 - xn-12 (n≥2, 0≤x≤1)
d) xn = 0.5*(xn-1 + a/xn-1) (n>1, a>0; x>0)
e) xn = 1/3*(2*xn-1 + a/xn-12) (n>1, a>0; x>0)
f) xn = xn-12 + 3*xn-1 +1 (n>1)

14) f - убывающая функция. xn = f(xn-1), n>1
а) x2n-1 и xn - монотонны, одна убывает, другая возрастает.

15) Найти пределы:
а) xn = cos(xn-1), x1=1
b) xn = (1-xn-1)2, x1=0.5
c) xn = 1/(xn-1+1), x1=1
d) xn = (xn-1+a)/(xn-1+1), x1≥0, a>0

Contact me!

Contact Information
Search

Home
Standard
Science
Teacher
Listok29

Skin:

Last modified
May 7, 2008

Slide show for vakhutinsky - double click on image to start
Slide show for vakhutinsky