Листок 27ПМ. Многочлены (обобщающий)

В этом листке рекомендуется использовать идеи $3 гл. 2 Агебры 9, избегая, однако, прямых ссыпок на учебник. Повторите также листки 6-8. Доп. литература: В. L. Van-der-Waerden

Определение: Многочленом P(х) над кольцом K называется конечная последовательность козфицентов ai∈K, записаная в виде: Р(х)=a0*x0+a1*x1+...+аnn

Множество многочленов над K обозначается К[x]. Если среди коэффицентов существуют ненулевые, то наибольший их индекс называется степенью многочлена. Обозначение многочлена степени n: Pn(x). Два многочлена равны, если равны все их ненулевые коэффиценты с одинаковыми индексами. Козфиценты Pn(x) обозначим через ai, Qm(x) - bi, Tk(x) - ci (i,j,k,l,m,n ∈ Z0)

I

СЛОЖЕНИЕ. Pn(x) + Qm(x) = Tk(x) ⇐def⇒ для ∀i ai + bi = ci

Задача 1. Многочлены образуют абелеву группу по сложению.

II

УМНОЖЕНИЕ (столбиком ) Pn(x) * Qm(x) = Tk(x) ⇐def⇒ для ∀i ci = a0*bi + a1*bi-1 +...+ ai*b0

Задача 2. Многочлены образуют кольцо.

IV

Задача 3. Многочлены нулевой степени и ноль образуют кольцо, изоморфное K. Поэтому a0*x0 будем записывать просто как a0.

V

св-во ЦЕЛОСТНОСТИ -def- a*b=0 ⇔ a=0 OR b=0

Задача 4. а)приведите пример нецелостного кольца
b) Z, Q, R, С - целостные кольца (во всех последующих задачах будем рассматривать только целостные кольца)
с) многочлены над целостным коммутативным кольцом с единицей образуют также целостное коммутативное кольцо с един.

Задача 5. Напишите программу, доказывающую, что деление многочленов один на другой с остатком всегда выполнимо и однозначно.

Определение: Многочленом от двух переменых (x,y) над кольцом К называется (K[x])[y]; обозначается K[х,у]. Аналогично определяется мночлен от n переменых.

Задача 6.(связь с учебником).
Многочлен по учебнику -def- функция f:K→K: для ∀ x∈K: f(x)=a0+a1*x+...+аnn
а) Многочлены совпадают как функции ⇔ они равны
b) Известно, что P(х) меньше 5*(х2+1)3 + 1000 при всех х. Что можно сказать о степени P?

Определение:P a - корень Pn(x) ⇐def⇒ Pn(a)=0

Задача 7. Теорема Безу. Pn(x) делится на x-a ⇔ a - корень Pn(x).

Упражнение 8. При делении многочлена Pn(x) на (x-1) получается остаток 2, а при делении на х-3 - остаток 1. Найти остаток при делении на (х-1)*(х-3).

Если Pn(x) делится на (х-a)k, но не делится на (х-a)k+1, то a называют корнем кратности k и рассматривают как k штук совпадающих корней.

Задача 9 а) xl, x2,..., xn - корни Pn(x) ⇔> Pn(x) = an*(x - x1)*(x - x2)*...* (x - xn)
b) отличный от нуля многочлен степени n имет не более n корней

Упражнение 10. Разложите на линейные множители над С: а) х2+1 b)x2-2*x+5 с)х3+1 d)x3+x-2
е) x4+1 f)x4+x2+l g)xn-1

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. Часто от графика некоторой неизвестной функции известно только n точек. Интерполяцией называется проведение через известные точки (х,у) некоторой функции, задаваемой, скажем, многочленом.

Задача 11. Интерполяция по Лагранжу
а) Докажите, что многочлен n-степени

(x - d0)*(x - d1)*...* (x - di-1)*(x - di+1)*...* (x - dn)
fn = ---------------------------------------------------------------
(di - d0)*(di - d1)*...* (di - di-1)*(di - di+1)*...* (di - dn)

в точке di принимает значение 1, а во всей остальных точках dj (j≠i) равен 0
b) получите многочлен, проходящий через n+1 точку (d0,y0),... (dn,yn) как линейную комбинацию fi(x)
c) найти многочлен степени 3, для которого P(1)=1 ,P(2)=5, P(3)=0, Р(4)+P(5)=8

Задача 12. Интерполяция по Ньютону
f(x) = g0 + g1*(x-d0) + g2*(x-d0)*(x-d1)+ ... + gn*(x-d0)*(x-d1)*...*(x-dn-1)
Определите коэффициенты g0, g1,..., gn так, что бы в точках di f(x) принимала значение yi путем последовательной подстановки x = d0, d1,..., dn
a) n=2 b) n=3 с) произвольное натуральное n.

Упражнение 13. (Ван-дер-Морд) Доказать, что система

x +y +z +t= a
x +2y +3z +4t= b
x +4y +9z +16t= c
x +8y +27z +64t= d

при любых a,b,c,d ∈ R имеет единственное решение в действ. числах. Почему тут дана эта задача?

Упражнение 14. Нарисовать множество тех пар (р,q), при которых квадратныый трехчлен x2 + p*x + q имеет 2 положительных корня

Задача 15. Рациональные корни многочлена с целыми коэффицентами
а)Пусть несократимая дробь m/q - корень многочлена с целыми козффицентами ⇒ q делит старший член AND m делит младший
b) старший член равен 1 ⇒ рациональный корень является целым
c) Корень натуральной степени из натурального рационален ⇒ он цел
d) Р(х)∈ Z[x]; Р(0) и P(1) - нечетные числа ⇒ Р(х) не имеет целых корней

Задача 16. а)Определите НОД(Pn(x),Qm(x)) и НОК(Pn(x),Qm(x)) (Л6)
b) С помощью алгоритма Евклида докажите, что НОД(Р,Q) - единственен

Упражнение 17. а)НОД(хm-1,хn-1)=хНОД(m,n) - 1
b) Найти НОД и НОК х4 - 4х3 + 1 и х3 - 3х2 + 1

Задана 18. Pn(x) и Qm(x) не имеют общих делителей ⇒
а) Существуют многочлены R(x); T(x): Pn(x)*R(x) + Qm(x)*Т(х) = 1
b) ∀Sk(x) степени k/<(n+m) ∃ многочлены R(x) степени меньше m и Т(х) степени меньше n: Sk(x) = Pn(x)*R(x) + Qn(x)*Т(х)
с) Следствие: Sk(x)/(Pn(x)*Qm(x)) = R(x)/Qm(x) + Т(х)/Pn(x)
Применяя это св-во несколько раз, получаем разложение дроби S(x)/G(x) на столько дробей, сколько элементарных сомножителей содержится в раззложении G(x) на простые множители.

Задача 19. Однозначность разложения на множители
Любой многочлен разлагается в произведение неприводимых (т.е. таких, которые невозможно разложить дальше) единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы коэффиценты при их старших степенях быыли равны 1.

Определение: Производной(формальной) многочлена Рn(х) = a0+a1x+...+аnn называется многочлен Р'n(х) = a1 + 2*a2*x+...+n*аnn-1
k-ая производная -def- производная от k-1 производной

Задача 20 а) a - корень кратности k>1 Рn(х) ⇒ a - корень кратности k-1 Р'n(х)
b) Напишите выражение для k-ой производной Рn(х)

Упражнение 21. Найдите кратность корня x=1 для многочлена x2n - n*xn+1 + n*xn-1 - 1

Задача 22 а) Формула Тейлора для многочленов:
P(x+a) = P(а) + Р'(а)*x/1! + Р''(а)*x2/2! + ... + Р''...'(a)*xn/n!
b) Рn(х)= 1 + x/1 + x2/2! + ... + xn/n! не имеет корней кратности больше 1.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ (без доказательства) Любой многочлен из С[х] имеет хотя бы один корень

Задача 23. а) Если все козффиценты комплексного многочлена действительны и a - корень ⇒ a - тоже корень
b) Рn(х)∈R[x], n - нечетно ⇒ существует хотя бы один корень
c) Любой многочлен из R[x] можно разложить в произведение действительных многочленов 1 и 2 степени

Упражнение 24. Многочлен степени 4 имеет 3 различных действительных корня. Может ли его производная иметь 1 (один) действительный корень?

Упражнение 25. Разложите на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффицентами:
а) х6 + 27 b) х4 + 4*х3 + 4*х2 + 1
с) x2n - l d) x2n+1 + 1

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ.

Многочлен кольца K[x1,..,xn] называется симметрической функцией переменных x1,..,xn, если он переходит в себя при любой перестановке переменных x1,..,xn.

Задача 26. Теорема Виета.
(x - x1)*(x - x2)*...*(x - xn) = xn - s1*xn-1 + s2*xn-2 + ...(-1)n*sn
а) выразите si через x1,..,xn
b?) s1,..,sn - симметрические функции x1,..,xn. Они называются элементарными

Задача 27. Основная теорема о симметрических многочленах
а) Любой симметрический многочлен из кольца K[x1,..,xn] может быть записана в виде многочлена от n переменых s1,..,sn
b) причем единственным образом

Упражнение 28. Представить в виде многочлена от s1,..,sn
а) х12 + х22 +...+ хn2
b) х13 + х23 +...+ хn3

Упражнение 29. s1,s2,s3 ∈ Z ⇒ х13 + х23 + х33 ∈ Z

ЭТО ПОСЛЕДНИЙ ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ ЛИСТОК ПО АЛГЕБРЕ В ЭТОМ ГОДУ

1 2 3 4 a b с 5 a b с 6 7 8 9 а 10 11 а b с 13 14 15 a b с d


16 a b 17 а b 18 а b с 19 20 а b 21 22 а b 23 a b с 24 25 abcd


26 a b 27 a b 28 a b 29 ЗАКРЫТИЕ


Contact me!

Contact Information
Search

Home
Standard
Science
Teacher
Listok27

Skin:

Last modified
May 7, 2008

Slide show for vakhutinsky - double click on image to start
Slide show for vakhutinsky