Антилисток 13. Циклические группы

Пусть это прочтёт каждый принимающий!

1a. Элемент бесконечного порядка - это, по определению, элемент, любая степень (целая) которого не равна ему самому.
б) Поскольку в группе конечеое число элементов, то колличество различных элементов в ряду a⁰, a¹, a², ... aⁿ... конечно. Поэтому можно выбрать из него два одинаковых aⁿ = a^m n ≠ m. Сократив на меньшую степень, получаем противоречие.

2. а и б) Порядок равен 4. Нужно это проверять непосредственным вычислением.
c) Порядок равен длине цикла. Доказательство по индукции.
d) В группе ромба все элементы: различные симметрии, поэтому они 2 степени. В группе квадрата - тоже самое, но повороты на 90° вправо и влево имеют порядок 4. В группе ромба 4 элемента, а в группе квадрата - 8.

3 a) Сократим на a^k - получаем, что n - не наименьший.
б) По теореме о делении с остатком находим k, а потом доказываем.

4. Пусть |f|=c Тогда c^k=a^k*b^k, а т.к. циклы a, b отвечают за разные части одной подстановки и независимы, то a^k и b^k должны быть независимы и равны e. После этого применяются определение НОК

5. Нужно проверять все аксиомы группы.

6. Доказывать туда и обратно!

7. Пусть порядок |a^m|=n. Тогда a^m*n=e. По предыдущей задаче m*n делится на p. А это бывает в одном из двух случаев:
а) m делится на p. Применяем ещё раз 6.
б) n делится на p. Тогда нам надо выбрать наименьшее n: n=p.

8. Простое обобщение 7.

9. Пусть n: (a*b)ⁿ = e = a*b*a*b*..*a*b = a*(b*a)^n-1*b (b*a)^n-1 = (b*a)^-1 - домножим на b*a

10. Представить элемент как степени и воспользоваться предыдущим листком.

16! Найти систему из min образующих в группах симметрии:
а) поворот на 120 и симметрия относительности прямой через центр тяжести - 6 элементов.
б) поворот на 90 и симметрия относительно диагонали - 8 элементов
в) поворот на 360/n и симметрия относительно прямой, проходящей через любую вершину и центр. Порядок группы 2*n
г) поворот на 120 относительно некоторой высоты, относительно другой высоты и симметрия относительно некоторой плоскости - 24 элемента.
д) Поворот на 90 относительно прямой соединяющей центры двух противоположных граней, поворот на 120 относительно диагонали и симметрия относительно некоторой плоскости - 48 элементов.