1. Докажите формулу для Сnk по индукции для n.
2. Для ∀ n сумма Сnk с четными k равна сумме Сnk с нечетными k.
3. k=0 n-1∑ Сnk*Сnk+1 = С2*nn+1
4. Задача 473 2).3) из Алгебры 9.
5. Найти k,n, если Сn+1k: Сnk+1: Сnk-1 =6:5:2
6.Докажите а) тождество:
Сnk +
3*Сnk-1 +
3*Сnk-2 +
Сnk-3 =
Сn+3k
б) неравенство:
С2n+kn *
С2n-kk ≤
(С2nn)2
в) Найти max (1+x)36 + (1-x)36 при |x|≤1
а) Выложите из трех кругов правильный треугольник со стороной 2. Сколько потребуется кругов для треугольника со стороной три, четыре... Докажите, что эти числа (т. н. треугольные) лежат во втором столбце прямоугольногго треугольника Паскаля.
б) Тот же вопрос для правильных тетраэдров, выложенных из шаров (см. 3 столбец)
в) Сколько мячей содержится в пирамиде, у которой в основании выложен квадрат n*n, в следующем слое (n-1)*(n-1) мяч и наверху только один мяч
а) Докажите, что суммы чисел, стоящих на диагонали пр. тр. Паскаля из левого нижнего в правый верхний угол образуют последовательность чисел Фибоначи.
б) Расмотрите суммы Gn чисел стоящих на линиях, паралельных линии 1-5-3 и докажите, что Gn =Gn-1 + Gn-3 при n>3
а) Игрок имеет 1 долллар и в каждой игре с вероятностью р выигрывает 1 доллар, а с вероятностью 1-р проигрывает 1 доллар. С какой вероятностью он обанкротится?
б) На тропе в k шагах от пропасти стоит пьяница, который равновероятно делает шаг вперед и назад. Какова вероятность того, что он свалится в пропасть за n шагов или быстрее?
Сколько существует способов рассадить n зверей в m нумерованных клеток, если мы имеем дело со стадом а) бармаглотов б) фермионов в) бозонов. Биологи сообщают, что все бармаглоты отличаютстя между собой, а фермионы и бозоны - нет. Кроме того, очень опасно сажать более одного фермиона в клетку. Как изменится ответ, если клетки будут ненумерованны (неразличимы)?
"Не в совокупности ищи единства, но более - единообразии разделения" К.ПрутковВыпишите в треугольник коэффиценты разложения тринома (1+x+x2)n Исследуйте св-ва триноминального треугольника, аналгичные св-вам тр. Паскаля.
Откинув в тр. Паскаля 1 и заменив числа на
обратные, получаем тр. Лейбница. В тр. Лейбница:
а) число равно сумме двух стоящих под ним (в тр.П. "над" ним)
б) сумма k-го (k>1) столбца в
прямоугольном треуголльнике Лейбница равна числу 1/(k-1) (столбцы
нумеруем с первого)
в) исследуйте другие св-ва треугольника Лейбница.
Напомните в 10 классе.
(x+y+z)n =def=∑ Dk,nm,l *
xk * ym * zl
a) k+m+l=n
б) Dk,nm,l = n!/(k!*m!*l!)
в) Какой смысл имеют полиномиальные коэффиценты в задаче с шарами
г) обобщите на случай i переменых
а) Сколькими способами можно разменять 20 коп?
Указание: рассмотрите
(x1+x2+x3+x5+x10+x15)20
б) Сколько существует счастливых билетов от 000000 до 999999?
Указание: воспользуйтесь производящими функциями.
Для ∀k: 0<k<n Сnk⋮p ⇔ p∈P AND n=pm
1 2 3 4 2) 3) 5 6 а б в 7 а б в 8 а б 9 а б 10 а б б 11
12 а б 14 а б в г 15 а б