ТЕОРИЯ СКРЫТЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ДИФФУЗИОННЫХ ТОКОВ.
Ю.И.Харкац, А.В.Сокирко
Институт электрохимии им.А.Н.Фрумкина АН СССР, Москва. @+8
1. Введение. \ ------------
@+6
Явление скрытых предельных токов было впервые обнаружено Кемулей и
Михальским [1] почти пятьдесят лет назад. Его первый теоретический
анализ был дан в [2]. Это явление наблюдается в системах с параллельно
протекающими электродными процессами, в которых продукт одного
электродного процесса вступает в гомогенную реакцию с деполяризатором
другого параллельного электродного процесса.
Пусть, например раствор содержит вещества А и В, которые
восстанавливаются на электроде, причем для определенности будем считать,
что В восстанавливается при более отрицательных потен- циалах:
A + n{eФ --> n1AЦ , (1) B + n}eФ --> n2BЦ . (2)
@+6
^ й
Здесь n , i=1,2 - количество передаваемых в й-той реакции электронов, n
- стехиометрические коэффициенты для электродных
\ й
реакций.
Eсли в объеме диффузионного слоя протекает реакция @+6
о1 А1Ц + о2 B ---^ AЦ B , (3) \ о1 о2
@+7
то по терминологии работы в [2] системе наблюдается скрытый предельный
ток первого рода, определяемый как разность предельных токов i2 в
отсутствие побочной реакции (3) и в ее присутствии i2':
Дi2 = i2 - i2'. (4) Если же в растворе протекает реакция @+6
о3 BЦ + о4 A ---^ BЦ A , (5) \ о3 о4
@+7
то говорят, что наблюдается скрытый предельный ток второго рода Дi1 = i1
- i1'.
В работе [ 2 ] был проведен анализ скрытых предельных диффузионных токов
в предположении, что скорость гомогенной реакции бесконечно велика.
В [3] анализировался особый случай протекания электродного процесса, в
котором продукт электродной реакции взаимодействуюет с исходным
веществом и могут наблюдаться скрытые токи третьего рода.
Экспериментальные исследования скрытых предельных диффузионых токов
проводилось в [3,4].
В настоящей работе работе развита теория скрытых предельных
диффузионных токов для произвольных значений константы скорости
гомогенной реакции. @+6
2. Математическая формулировка задачи.
\ --------------------------------------
@+6
Ограничимся здесь рассмотрением скрытых предельных токов первого рода (
задача о скрытых предельных токах второго рода решается аналогичным
образом ) и, кроме того, будем для простоты полагать все
стехиометрические коэффициенты равными единице: ^ й
о =1, n =1, n =1. Считая, что рассматриваемые процессы протекают \й й
@
в условиях избытка фонового электролита, так что эффекты элект-
ромиграции несущественны, уравнения, описывающие распределение
концентрации вещества В и продукта реакции (1) АЦ в диффузионном слое,
можно записать в виде: @+7
^ d} C1
^ Ц
D1 ------ - k1 C1 C2 = 0, (6) \ Ц Ц
\ d-}
@+9
^ d} C2
^
D2 ------ - k1 C1 C2 = 0. (7) \ Ц
\ d-}
@+7
Здесь D1 и D2 - коэффиеценты диффузии соответствующих веществ, @
\ Ц
k1 - константа скорости реакции (3), - - координата, перпенди- кулярная
поверхности электрода.
В качестве граничных условий будем считать, что заданы кон-
центрации C2 в объеме раствора C2(L) = CТ
и нулевая концентрация вещества АЦ C1 (L) = 0.
\ Ц
Здесь L - толщина диффузионного слоя, которая считается приближенно
одинаковой для веществ АЦ и В. Будем искать решение при условии C2(0)=0,
которое соответствует достижению предельного тока по веществу В.
Для получения последнего граничного условия необходимо найти решение
уравнения диффузии для вещества А, которое не участвует в гомогенной
реакции (3): @+6
^ d} C1
^
D1 ----- = 0 (8) \
\ d-}
@+7
с граничным условием при -=L: C1(L)=C1Т и условием предельного тока по
веществу А: C1(0)=0. Дважды интегрируя (8), получаем линейный профиль
для С1: C1 = C1Т-/L. Поскольку, согласно стехиометрии реакции (1),
вблизи электрода потоки веществ А и АЦ равны друг другу и
разнонаправлены, можно записать последнее граничное условие для С1 : \ Ц
@+7
^ d C1 d C1 C1Т
^ Ц
D1 ----- = - D1 ---- п D1 --- . (9)
\ Ц
\ d- d- L
@+7
Пусть с1 и с2 - безразмерные концентрации веществ АЦ и В соответственно,
c1 = C1 D1 / CТD2, c2 = C2 / CТ, (10)
\ Ц Ц
@+6
x=-/L - безразмерная координата ( 0єxє1), л - безразмерная ско- рость
реакции, j1 - безразмерный поток вещества А:
x=-/L, л = k1 L}CТ / D1 , j1 = D1C1Т / D2CТ. (11)
\ Ц
@+6
Тогда система уравнений (6) - (7) и граничные условия к ним могут быть
записаны в виде :
@+7
^ d} c1
^
----- = л c1 c2, (12)
\
\ dx}
@+8
^ d} c2
^
----- = л c1 c2, (13)
\
\ dx}
@+7
c2(0)=0, c2(1)=1, (14)
@+7
^ d c1
^ |
---- = - j1, c1(1)=0. (15)
\ |
\ dx x=0
@+7
Нашей целью является нахождение связи между
j2=dc2/dx| - (16)
\ x=0
@+6
безразмерным предельным потоком вещества В и j1- безразмерным предельным
потоком вещества А при различных значениях параметра л.
Вышеприведенную систему уравнений можно свести к одному
дифференциальному уравнению. Вычтя из (12) уравнение (13), дважды
проинтегрировав с использованием граничных условий (14) - (15), и сделав
подстановку (16), можно получить линейную связь между с1 и с2:
с1 - с2 = ( j1 + j2 )( x - 1 ) - 1. (17)
Подставив (17) в (12), можно привести систему (12)-(13) к един-
ственному уравнению.
Система (12) - (15) в общем виде не имеет аналитическо- го решения. Для
исследования ряда предельных случаев, когда один из параметров задачи л
или j1 мал или велик, воспользуемся методом асимптотического разложения
по малому параметру, ограничиваясь, как правило, нулевым и первым членом
разложения. При этом используемые ниже переменные X, Y, Z, U будут
обозначать функ- ции, имеющие масштаб порядка единицы.
@+6 @#6l
3 Случай малых скоростей реакции л а 1.
\ ---------------------------------------
@+6
В этом случае можно искать решение для с1, с2 в виде разложения по
малому параметру л:
c1 = X + лY, (18)
c2 = Z + лU. (19)
Подставляя (18), (19) в (12), (13) с точностью до членов @
первого порядка малости, имеем:
@+7
^ d} X d} Y
^
---- + л ---- = л X Z, (20)
\
\ dx} dx}
@+8
^ d} Z d} U
^
---- + л ---- = л X Z. (21)
\
\ dx} dx}
@+7
Оставляя в этих уравнениях члены только нулевого порядка малос- ти,
получаем:
@+7
^ d} X d} Z
^
---- = 0, ---- = 0. (22)
\
\ dx} dx}
@+7
Дважды интегрируя эти уравнения и используя граничные условия (14) -
(15), получаем:
X = j1 ( 1-x ), Z = x. (23)
Подставляя (23) в (24) и (25) и приравнивая члены первого порядка
малости по л, имеем:
@+7
^ d}Y d}U
^
--- = j1 x (1-x), --- = j1 x (1-x). (24)
\
\ dx} dx}
@+7
Поскольку функции X, Z уже удовлетворили неоднородным граничным условиям
(14), (15), Y и U должны удовлетворять однородным граничным условиям:
dY/dx| = 0, Y(1) = 0,
\ x=0
@+5
U(0) = 0, U(1) = 0. (25)
Дважды интегрируя (24) с учетом (25), получаем первые члены в разложении
(18), (19):
X = j1 ( 2x~ - x - 1 )/12, Y = j1 ( 2x~ - x - x )/12. Распределения
концентраций с1 и с2, иллюстриющие это реше-
ние, показаны на рис. 2.1.а. Собирая решение и дифференцируя (19),
получаем искомую
связь потоков j1 и j2: j2 = 1 - лj1/12. (26)
Выражение (26) применимо только при условии лj1 а 1, т.е. при не очень
больших потоках j1. В случае, когда лj1 Ь 1, необходим другой способ
решения. @+6 @#5l
4. Случай малой скорости реакции л а 1 и большой величины
\ ---------------------------------------------------------
потока j1 >> 1. \ ---------------
@+6
@
Будем считать, что параметры л и j1 таковы, что лj1 Ь1. При этом функция
с1 имеет характерный масштаб с1Ьj1, а функция c2Ь1. Это позволяет искать
решение задачи в виде разложения по параметру 1/j1, первые члены
которого имеют вид c1=j1X+Y, c2=Z, где X, Y, Z - функции с масштабом
порядка единицы.
Подставляя c1 и c2, выраженные через X, Y и Z в (12),
(13) и рассматривая члены порядка j1, получим X=1-x. Подставив найденное
решение для Х в уравнение (13), его можно привести к виду
@+7
^ d}Z
^
--- = л j1 (1-x) Z. (27) \
\ dx}
@+7
Решением этого уравнения служит линейная комбинация функций Эйри @+6
Z = s1 Ai[q(1-x)] + s2Bi[q(1-x)], (28) ^ ~ФФФ
где q=Алj1, s1 и s2 - константы. Определив s1 и s2 из граничных условий
(15) - (16) и дифференцируя (28), получаем искомое выражение для
предельного потока вещества В: @+7
^ dc2 q Bi(q)Ai'(q) - Ai(q)Bi'(q)
^ |
j2 = --- = - ----- -------------------------. (29) \ | Ф
\ dx x=0 Ai(0) Bi(q) - Ai(q) А3
@+7
В случае достаточно малых л, когда q<<1, выражение (29) можно упростить,
оставив только ведущие члены асимптотических разложений функций Эйри
[5]. В результате (29) сводится к фор- муле (26). Таким образом,
выражение (29) применимо при J1<<1 и любых л.
@+6 @#5l
5. Случай больших потоков реагента ( j1 >>1 ). \
----------------------------------------------
@+6
Случай больших потоков j1 уже исследовался в разделе 4 при при
дополнительном условии ла1. В настоящем разделе будем счи- тать, что
параметр л порядка единицы.
В отличиe от случая, рассмотренного в разделе 4, где
функции с1(x), c2(x) изменялись плавно во всем интервале 0єxє1, в случае
лЄ1 и лj1 >>1 при значениях x-1 функция c2(x) изменяется весьма резко, а
на всем остальном интервале изменяется плавно, принимая значения,
близкие к нулю. Другими словами, у границы диффузионного слоя x=1
формируется пограничный слой.
Поскольку в рассматриваемом случае dc2(0)/dx=да1, связь c1
с c2 (17) может быть записана в виде:
c1 - c2 + j1( 1-x) = с2 + j1( xЦ - x ), (30) где xЦ=1-1/j1.
Вне узкой области вблизи x=1, где 1-x >> 1/j1, можно пренебречь в (30)
первым слагаемым. При этом (13) переходит в уравнение
^ d}c2
^
---- = лj1 ( xЦ - x ) c2. \
\ dx}
@+7
Решением этого уравнения служит линейная комбинация функций Эйри c2 = s1
Ai[q(xЦ-x)] + s2 Bi[q(xЦ-x)].
Определяя из граничных условий (15) коэффициенты s1 и s2, ^ ФФФФФ ФФФФ
учитывая, что (xЦ-1)q=Ал/j1} >> 1 и qxЦ=Аj1л >>1, используя ве- дущие
члены асимптотических разложений для функций Эйри при больших и малых
значениях аргументов [5], получаем выражение для предельного потока
вещества В: @#15
\ ~ ФФФ ~ ФФФ
^ dc2 - Алj1 Алj1
^ | ~ ФФФ
j2 = --- = ------- Ai'( Алj1) = -----------------. (31)
\ | ~ ФФФ
\ dx x=0 Ai(0) - Ai(0) Bi( Алj1)
@+7
Отметим, что формула (31) является частным случаем (29) при q>>1. При
выводе (31) использовалось только условие j1}>> >>л>1, поэтому (31)
выполняется и при j1>>1, л>>1, j1}>>л. Та- ким образом, можно сделать
вывод, что формула (29) применима не только при л <<1 и любых j1, но и
при j1 >>1 и не малых л, удовлетворяющих условию лаj1}.
Поведение функций c1(x), c2(x) при значениях параметров
j1>>1 и лЬ1 показано на рис. 1.б. @+6 @#5l
6. Случай малых потоков вещества А ( j1 << 1 ) . \
------------------------------------------------
@+6
При j1 а 1 и л достаточно малых, так что j1л << 1, поток вещества B
дается формулой (26). Ниже мы рассмотрим случаи лЬ1 и j1л>>1.
Поскольку характерный масштаб изменения функции c1(x)Ьj1а1, будем искать
c1, c2 в виде разложений по параметру j1, первые члены которых имеют вид:
c1 = j1X, c2 = Y + j1 Z, (32)
где X, Y, Z - функции с масштабом изменения порядка 1. Подставляя (32) в
(13), получим в нулевом приближении с учетом гра- ничных условий Y=x.
При этом уравнение (12) принимает вид d}X/dx}=j1xX. Его решением,
удовлетворяющим (15), служит ли- нейная комбинация функций Эйри @#13
\ Ф Ф Ф Ф
^ Bi(~Ал) Ai(~Ал x) - Ai(~Ал) Bi(~Ал x)
^
c1 = - лФ{'~ -------------------------------------. (33)
\ - -
\ Bi(~Ал) Ai'(0) - Ai(~Ал) Bi'(0)
@+7
Учитывая теперь линейную связь с1 и с2 (17), находим поток j2: @+5 @#20
j2 = dc2/dx| = 1 - j1 + c1(0) = 1 - j1(1- X(0)) =
\ x=0
\ - - -
^ Ai(0) Bi(~Ал) - А3 Ai(~Ал)
^
= 1 - j1 [ 1 + лФ{'~ ------ ---------------------]. (34) \ - - -
\ Ai'(0) Bi(~Ал) + А3 Ai(~Ал)
@+7
Используя ведущие члены асимптотических разложений функций Эйри, можно
убедиться, что при л<<1 (34) переходит в (26). При больших скоростях
реакции л>>1 решению задачи соответствует существование пограничного
слоя вблизи x=0. При этом dc1(1)/dxа1 и решение задачи находится по
схеме, аналогичной описанной выше для случая погранслоя при x=1.
Получающийся результат совпaдает с выражением для потока j2, следующим
из (34) при j1>>1.
j2 = 1 - j1 [ 1+ лФ{'~Ai(0))/Аi'(0)]. (35)
Таким образом, формула (34) справедлива при j1<<1 и любых значениях л.
@+6 @#5l
7. Большие скорости реакции ( л >>1 ) . \
-------------------------------------
@+6
При рассмотрении этого случая будем различать две ситуации: j1 < 1 и j2
> 1.
Пусть j1<1. При больших скоростях реакции л>>1 практически
все вещество АЦ успевает прореагировать с веществом В вблизи электрода.
У поверхности электрода формируется пограничный слой, в котором c2(x)
имеет резкий максимум, так как c2(0)=0, а за максимумом c2(x)
экспоненциально убывает, так как все вещество АЦ прореагировало около
электрода. Именно такой предельный случай и соответствует рассмотрению
скрытых предельных токов, проведенному в [2], где считалось, что при
k=ЮЯ в пределе поток вещества В на электрод равен (1-j1).
Будем считать, что при л >> 1 поток вещества В на электрод
отличается от (1- j1) на малую величину д: j2 = 1 - л + д. (36)
Тогда с учетом (15) связь c1 и c2 дается выражением c2 = c1 + (1+д)( x -
xк ), (37)
где xк=д/(1+д)-д . В пределе л-->ЮЯ, д=0, c2(x)=x, c1(x)=0. Будем искать
решение в виде
@+6
c1 = XФ, c2 = YФ при 0 < x є xк, c1 = XХ, c2 = YХ при xк є x < 1 .
При x >> xк в (30) можно пренебречь c1 и получить уравнение для ХХ:
@+6
^ d}XХ
^
---- = л ( x - xк ) XХ, \
\ dx}
@+6
решение которого, удовлетворяющее (15), дается выражением: ^ Ф Ф . Ф Ф
XХ = s1 [ Ai(~Ал(x-xк)) - Bi(~Ал(x-xк)) Ai(~Ал)/Bi(~Ал) ].
Отметим, что при x-xк второе слагаемое в выражении для ХХ
экспоненциально мало по сравнению с первым,и им можно пребречь.
Соответствующая ХХ функция YХ находится из (37) и равна: @+6
^ Ф
YХ = (1+д)(x-xк) + s1 Ai(~Ал(x-xк)). В области xєxк, c2Ьx, а s1Ьд-xк.
Поэтому, пренебрегая в (37) c1 по сравнению со вторым слагаемым,
приходим к следующему уравнению для YФ:
@+7
^ d}YФ
^
---- = л ( xк - x ) YФ.
\
\ dx}
@+6
Решением этого уравнения служит линейная комбинация функций Эйри @+6
^ Ф Ф
XХ = s3 Ai(~Ал(xк-x)) - s4 Bi(~Ал(xк-x)). (38)
Связь s3 и s4 находится с помощью граничных условий (15) и условий
сшивки решений. Условия сшивки для YФ и YХ имеют вид: @+7
^ dYФ dYХ
^ | | | |
YФ = YХ , --- = --- .
\ |x=xк |x=xк | |
\ dx x=xк dx x=xк
@+6
Определив коэффициенты s1, s3, s4 из (36) и (38), получаем уравнение для
д :
^ Ф
2- Ai'(0) Bi(~Ал д) = [ 1+д-j1]Ф{. (39)
Определяемое уравнением (39) значение д имеет при значе- ниях j1, не
близких к единице, порядок лФ{'~. В частном случае
j1а1 из (39), (36) можно получить формулу (35). Легко убе- ^ ~ Ф
диться, что при 1-j1а1 и Ал д >>1 имеем j2=1-j1а1. Таким обра- зом,
(36) дает правильное решение при малых потоках реагента А j1а1 и при
всех значениях j1<1 и л>>1.
Обратимся теперь к ситуации л>>1, j1>1. В отличиe от рассмотренного выше
случая j1>>1, пограничный слой возникает здесь не на правой границе
области x=1, а в некоторой промежуточной точке г внутри области 0<x<1.
Будем искать решение задачи в виде первых членов разложения по малому
параметру лФ{:
c1 = X + лФ{Y, c2 = Z + лФ{U, (40)
где X, Y, Z, U Ь 1. В нулевом приближении имеем X Z =0: везде, кроме
окрестности точки г=1-1/j1 этому уравнению и граничным условиям
удовлетворяют функции
@+6
X = j1 ( г - x ), Z = 0 при x є г,
X = 0, Z = j1 ( x - г ) при x Є г. (41)
В окрестности x=г сосредоточена реакционная зона, где вещество В
вступает в реакцию с веществом АЦ. Лишь небольшая часть вещества В
доходит до электрода: j2=д<<1. Для нахождения д будем искать решение в
виде, следующем из (40) и (41):
@+6
c2 = YФ, c1 = XФ = YФ + j1(г-x) при x є г,
c1 = XХ, c2 = YХ = XХ + j1(x-г) при x Є г, (42)
где YФ, XХ Ьj1Ф{а1. Схема нахождения решения полностью аналогична
описанной выше. Достаточно далеко от точки x=г можно прене- бречь в (37)
YФ или XХ, получить в каждой из двух областей уравнение Эйри и найти
коэффициенты в линейной комбинации функций Эйри из граничных условий и
условий сшивки функций YФ и YХ и их производных при x=г. В результате
получим
@+5
^ ФФФ
j2 = д = j1 Ai'[~Алj1 (1-1/j1)] / Ai(0). (43)
При получении (43) считалось, что (j1-1)л>>1, j1ал, т.е. точка г
расположена не слишком близко к концам интервала г>>д, 1-г >> >> д. Если
же считать, что 1-гад, то можно убедиться, что j2 дается формулой (31).
В случае га1 поток j2-0.
Профили концентраций c1(x), c2(x) для случая л>>1, j1Ь1 показаны на рис.
1 в,г.
@+6 @#5l
8. Численное решение задачи.
\ ----------------------------
@+6
Для получения полной картины поведения предельного потока вещества В при
произвольных значениях параметров л и j1, система (12) - (15) решалась
численно.
Схема решения строилась следующим образом. Из соотношения (17) при x=0
следует
c1(0) = c2(0) + j1 - 1. (44)
Подставляя (44) в (17), имеем
c2 = c1 + c1(0) (x-1) + x. (45)
Используя (45), преобразуем (12) к виду
d}c1/dx} = л c1 [ c1 + c1(0) (x-1) + x ]. (46) Уравнение (46) с
граничными условиями c1(1)=0, c1(0)=+ реша- лось численно методом
линеаризации и прогонки [33]. Из решения находилось значение
j1=dc1/dx| и j2 - предельный поток вещес\ x=0
тва В, которые являлись функцией +, и, таким образом, в параметрическом
виде искомая зависимость j2(j1,л). Расчитанные зависимости полного
потока j=j1+j2 на электрод веществ А и В для ряда значений параметра л
представлены на рис. 2. Семейство кривых j показывает степень влияния
величины скорости реакции л на ре-
зультирующую кинетику процесса. Рассмотренному в [ 2 ] пределу л=ЮЯ
соответствует j=1 при j1<1 и j=j1 при j1>1, т.е. асимптотами полученного
решения являются прямые, соответствующие приб- лиженной теории Кемули и
Грабовского. Скрытый предельный ток вещества В , равный разности токов
при л=0 и л_0, дается соотношением Дj=1-j2 и показан как функция j1 на
рис.3.
Полученные аналитические расчеты для раличных значений л и j2 собраны в
таблице.
@+6
9.Заключение.
\ ------------
@+6
Проведенные расчеты зависимости величин скрытых предельных
токов от параметра j1 для широкого набора значений л дают возможность
оценивать по соответствующим экспериментальным зависимостям значение
константы скорости гомогенной реакции k1. Для ее нахождения нужно
сопоставить экспериментальную кривую зависимости суммарного тока от тока
j1, т.е. от состава раствора с расчитанными кривыми и выбрать то
значение л, которое соответствует теоретической кривой, наиболее точно
описывающей экспериментальные данные.
Заметим, что асимптотические прямые, к которым стремятся расчитанные
зависимости j(j1) определяются стехиометрией процессов (1) и (2). Таким
образом, развитая теория позволяет опреде- лять, как и формулы работы
[2], стехиометрию рассматриваемых процессов и, кроме того, одновременно
находить скорость гомогенной реакции, сопрягающей два параллельных
электродных процесса. @: @+2l
Таблица. Приближенные аналитические формулы для зависимости потока j2 от
j1 для различных областей значений j1 и параметра л.
@+3L
-------------------------------------------------- | \ л | л<<1 | л Ь 1
| л >> 1 |
| j1 \ | | | |
|------------------------------------------------- |j1<<1 |(26)
|<---(34)-----> | (35) |
| | | | | |
|------------------------------------------------- | | | Численные ре- |
лє1 (36),(39) |
| лЬ1 |(26) | шения на ЭВМ. | лЄ1 (43) |
|------------------------------------------------- | | | | | (43) j1 <<в |
| л>>1 | (24) |(31) j1}>>л>1 | (31) j1}>>в |
-------------------------------------------------- @+2l
Стрелка показывает, что соответствующая формула может быть получена как
частный предельный случай более общей формулы. @:
Литература. \ -----------
@+2l
1. Kemula W., Muchalski M. // Rocsniki Chem.-1936.-V.16,P.535. 2. Kemula
W., Grabowski Z.// Z.R.Roszn. Chem. 1951.- V.25, NТ3.
P.350.
3. Феоктистов Л.г., Жданов С.И.// Изв. АН СССР, отд. хим. наук.1963.-
NТ1.- C. 45.
4. Хайкин Б.И., Феоктистов Л.Г.// Ж. физ. химии.- Т. 38, NТ 3.С. 547.
5. Справочник по специальным функциям / Ред. Абрамовиц М., Сти- ган И. -
М.: Наука, 1977. - 656 С.
@: @
Подписи к рисункам. \ -------------------
@+6
Рис. 1. Распределение концентраций с1, с2 и скорости гомогенной
химической реакции лс1с2 в диффузионном слое при значении без- размерных
параметров:
а) с1(0)=1, л=10, в) с1(0)=0,3, л=1000,(j1<1),
б) с1(0)=8, л=10, г) с1(0)=1,5, л=1000,(j1>1).
Рис. 2. Зависимость суммарного безразмерного потока j от без- размерного
потока j1 для значений параметра л: 1 - л=0, 2 - л=1, 3 - л=10, 4 -
л=100, 5 - л=1000, 6 - л= ТТ. Рис. 3. Зависимость скрытого предельного
тока Дj от безраз- мерного потока j1 для значений параметра л: 1 - л=ТТ,
2 - л=1000, 3 - л=100, 4 - л=10, 5 - л=1, 6 - л=0.